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on aura aussi

${\begin{aligned}ydx-xdy=&(\zeta \mathrm {R} +z'\mathrm {Q} +z''\mathrm {P} )dt,\\xdz-zdx=&(\eta \mathrm {R} +y'\mathrm {Q} +y''\mathrm {P} )dt,\\zdy-ydz=&(\xi \mathrm {R} +x'\mathrm {Q} +x''\mathrm {P} )dt.\end{aligned}}$

Ces trois équations, ainsi que les trois précédentes, étant multipliées respectivement par les équations (12), et les produits étant ajoutés ensemble, il viendra, en vertu des formules du n^o 2, ces deux équations-ci

(15)

$\mathrm {A} z+\mathrm {B} y+\mathrm {C} x=r\lambda +q\mu -p\nu ,$

(16)

$\mathrm {A} (ydx-xdy)+\mathrm {B} (xdz-zdx)+\mathrm {C} (zdy-ydz\mathrm {A} )=(\mathrm {R} \lambda +\mathrm {Q} \mu -\mathrm {P} \nu )dt,$

lesquelles, étant combinées avec l’équation (14) ci-dessus, serviront à déterminer les trois inconnues $x,y,z$.

Je remarque d’abord que si les deux constantes arbitraires $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C}$ étaient nulles, la détermination dont il s’agit n’aurait aucune difficulté ; car faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\theta \ \ =&r\ \lambda +q\ \mu -p\nu ,\\\Theta \ =&\mathrm {R} \lambda +\mathrm {Q} \mu -\mathrm {P} \nu ,\\n^{2}=&p^{2}\ \,+q^{2}\ \,+r^{2}\end{aligned}}$

($\theta$ et $\Theta$ étant des fonctions connues de $t,$ et $n$ une constante qui exprime la distance du point donné du corps au centre autour duquel il se meut), l’équation (15) donnera d’abord

$z={\frac {\theta }{\mathrm {A} }},$

et l’équation (14) donnera

$x^{2}+y^{2}=n^{2}-{\frac {\theta ^{2}}{\mathrm {A} ^{2}}}.$

Ensuite l’équation (16) donnera

$ydx-xdy={\frac {\Theta dt}{\mathrm {A} }},$

laquelle étant divisée par la précédente, on aura cette équation intégrable

${\frac {ydx-xdy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {\mathrm {A} \Theta dt}{\mathrm {A} ^{2}n^{2}-\theta ^{2}}}.$