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Mais l’équation précédente donne par la différentiation

$d\lambda =\mathrm {A} d\zeta +\mathrm {B} d\eta +\mathrm {C} d\xi \,;$

donc on aura

$d\lambda =-\mu d\psi +\nu d\varphi ,$

et par conséquent

(13)

${\frac {d\lambda }{-\mu {\dfrac {d\psi }{dt}}+\nu {\dfrac {d\varphi }{dt}}}}=dt.$

Ainsi, comme ${\frac {d\psi }{dt}}$ et ${\frac {d\varphi }{dt}}$ sont donnés en $\lambda ,\mu ,\nu ,$ et que $\mu ,\nu$ sont déjà connus en $\lambda ,$ cette équation ne contiendra que les deux variables $t$ et $\lambda ,$ déjà séparées, et donnera par conséquent par l’intégration la valeur de $t$ en $\lambda ,$ et vice versâ celle de $\lambda$ en $t\,;$ ainsi l’on connaîtra les quantités $\lambda ,\mu ,\nu$ par des fonctions du temps $t.$

Pour pouvoir connaître maintenant le mouvement de chaque point du corps, nommons, comme ci-dessus, $x,y,z$ les trois coordonnées rectangles qui déterminent la position instantanée d’un point quelconque donné du corps, dans l’espace, et soient de même $p,q,r$ les coordonnées rectangles qui déterminent la position du même point dans le corps même ; on aura donc comme ci-devant

${\begin{aligned}x=&\xi r+x'q+x''p,\\y=&\eta r+y'q+y''p,\\z=&\zeta r+z'q+z''p,\end{aligned}}$

d’où l’on tire d’abord l’équation

(14)

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=p^{2}+q^{2}+r^{2}.$

Ensuite, faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&pq{\frac {d\varphi }{dt}}+pr{\frac {d\varpi }{dt}}+\left(q^{2}+r^{2}\right){\frac {d\psi }{dt}},\\\mathrm {Q} =&qr{\frac {d\varpi }{dt}}-pq{\frac {d\psi }{dt}}\,-\left(p^{2}+r^{2}\right){\frac {d\varphi }{dt}},\\\mathrm {R} =&qr{\frac {d\varphi }{dt}}\ -pr{\frac {d\psi }{dt}}\,-\left(p^{2}+q^{2}\right){\frac {d\varpi }{dt}},\end{aligned}}$