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En effet, si l’on fait

$\mu =s\lambda ,\quad \nu =u\lambda ,$

et qu’on divise les deux équations l’une par l’autre, la quantité $\lambda$ s’en ira, et l’on aura une équation du second degré entre $s$ et $u,$ par laquelle on pourra déterminer $u$ en $s\,;$ ensuite on aura par la dernière équation

$\lambda ={\frac {k}{\sqrt {1+s^{2}+u^{2}}}},$

et de là on connaîtra les trois quantités $\lambda ,\mu ,\nu$ en $s,$ dont les valeurs étant substituées dans le premier membre de l’équation (13), on aura une équation séparée entre $s$ et $t,$ par laquelle on déterminera $s$ en $t$ et vice versâ.

Mais, comme de cette manière on tombe dans une équation un peu compliquée à cause des doubles signes radicaux que les expressions de $\lambda ,\mu ,\nu$ doivent renfermer, il est bon de voir comment on peut parvenir à des résultats plus simples, à l’aide de quelques substitutions convenables d’autant plus que la méthode que nous allons exposer pourra aussi être utile dans d’autres occasions.

Il est visible que, si l’on prend de nouveau neuf quantités

$f,g,h,f',g',h',f'',g'',h'',$

qui soient assujetties aux mêmes conditions que les quantités

$x,y,z,x',y',z',x'',y'',z''$

du n^o 2, en supposant

$a=a'=a''=1\quad {\text{et}}\quad b=b'=b''=0,$

on aura

$(f\lambda +f'\mu +f''\nu )^{2}+(g\lambda +g'\mu +g''\nu )^{2}+(h\lambda +h'\mu +h''\nu )^{2}$

$=\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}=k^{2}\,;$

et comme parmi ces neuf quantités il en reste trois d’indéterminées, à cause qu’il n’y a que six conditions à remplir (numéro cité), on pourra encore, en introduisant trois nouvelles indéterminées $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ faire en