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sorte qu’on ait aussi

$\alpha (f\lambda +f'\mu +f''\nu )^{2}+\beta (g\lambda +g'\mu +g''\nu )^{2}+\gamma (h\lambda +h'\mu +h''\nu )^{2}$

${\begin{aligned}=&\mathrm {{\frac {LM-H^{2}}{\Delta }}\lambda ^{2}+{\frac {LN-G^{2}}{\Delta }}\mu ^{2}+{\frac {MN-F^{2}}{\Delta }}} \nu ^{2}\\&+\mathrm {2{\frac {GH+FL}{\Delta }}\lambda \mu -2{\frac {FH+GM}{\Delta }}\lambda \nu -2{\frac {FG+HN}{\Delta }}\mu \nu =E^{2}} \,;\end{aligned}}$

car pour cela il n’y aura qu’à supposer

${\begin{alignedat}{4}&\mathrm {\frac {LM-H^{2}}{\Delta }} &=&\alpha f^{2}&+&\beta g^{2}&+&\gamma h^{2},\\&\mathrm {\frac {LN-G^{2}}{\Delta }} &=&\alpha f'^{2}&+&\beta g'^{2}&+&\gamma h'^{2},\\&\mathrm {\frac {MN-F^{2}}{\Delta }} &=&\alpha f''^{2}&+&\beta g''^{2}&+&\gamma h''^{2},\\&\mathrm {\frac {GH+FL}{\Delta }} &=&\alpha ff'&+&\beta gg'&+&\gamma hh',\\-&\mathrm {\frac {FH+GM}{\Delta }} &=&\alpha ff''&+&\beta gg''&+&\gamma hh'',\\-&\mathrm {\frac {FG+HN}{\Delta }} &=&\alpha f'f''&+&\beta g'g''&+&\gamma h'h''.\end{alignedat}}$

Pour pouvoir maintenant résoudre ces équations, je remarque que les neuf quantités $f,g,h,f',g',h',\ldots$ auront nécessairement entre elles des relations analogues à celles qu’on a trouvées dans le n^o 7 entre $x,y,z,x',y',z',\ldots \,;$ d’où il s’ensuit que, si l’on fait, pour abréger,

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {A} =&\mathrm {\frac {LM-H^{2}}{\Delta }} ,&\mathrm {B} =&\mathrm {\frac {LN-G^{2}}{\Delta }} ,&\mathrm {C} =&\mathrm {\frac {MN-F^{2}}{\Delta }} ,\\a=&\mathrm {\frac {GH+FL}{\Delta }} ,\qquad &b=&-\mathrm {\frac {FH+GM}{\Delta }} ,\qquad &c=&-\mathrm {\frac {FG+HN}{\Delta }} \end{alignedat}}$

(il ne faut pas confondre ces quantités $\mathrm {A,B,C} ,a,b,c$ ovec celles que nous avons dénotées ailleurs par les mêmes lettres), on trouvera les combinaisons suivantes

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {A} f+af'+bf''=&\alpha f,\quad &\mathrm {B} f'+af+cf''=&\alpha f',\quad &\mathrm {C} f''+bf+cf'=&\alpha f'',\\\mathrm {A} g+ag'\,+bg''\,=&\beta g,&\mathrm {B} g'+ag\,+cg''\,=&\beta g',&\mathrm {C} g''+bg+cg'\,=&\beta g'',\\\mathrm {A} h+ah'+bh''=&\gamma h,&\mathrm {B} h'+ah+ch''=&\gamma h',&\mathrm {C} h''+bh+ch'=&\gamma h''.\end{alignedat}}$