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axes des coordonnées $p,q,r$ des angle $\rho ,\sigma ,\omega$ tels, que

${\begin{aligned}\cos \rho =&{\frac {p}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}={\frac {d\psi }{\sqrt {\psi ^{2}+\varphi ^{2}+\varpi ^{2}}}},\\\cos \sigma =&{\frac {q}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}={\frac {d\varphi }{\sqrt {\varphi ^{2}+\varphi ^{2}+\varpi ^{2}}}},\\\cos \omega =&{\frac {r}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}={\frac {d\psi }{\sqrt {\varpi ^{2}+\varphi ^{2}+\varpi ^{2}}}},\end{aligned}}$

ou bien, en mettant pour $d\psi ,d\varphi ,d\varpi$ leurs valeurs en $\Pi ,\Psi ,\Phi ,$ trouvée dans la solution ci-dessus,

${\begin{aligned}\cos \rho =&{\frac {f''\alpha \Pi +g''\beta \Psi +h''\gamma \Phi }{\sqrt {\alpha ^{2}\Pi ^{2}+\beta ^{2}\Psi ^{2}+\gamma ^{2}\Phi ^{2}}}},\\\cos \sigma =&{\frac {f'\alpha \Pi +g'\beta \Psi +h'\gamma \Phi }{\sqrt {\alpha ^{2}\Pi ^{2}+\beta ^{2}\Psi ^{2}+\gamma ^{2}\Phi ^{2}}}},\\\cos \omega =&{\frac {f\alpha \Pi +g\beta \Psi +h\gamma \Phi }{\sqrt {\alpha ^{2}\Pi ^{2}+\beta ^{2}\Psi ^{2}+\gamma ^{2}\Phi ^{2}}}}.\end{aligned}}$

Maintenant il est clair que, comme les quantités $\Pi ,\Psi$ et $\Phi$ sont, en général, des fonctions du temps $t,$ la position de l’axe de rotation dont il s’agit variera continuellement, à moins que ces trois quantités ne gardent entre elles des rapports constants ; or comme on a (par la Remarque précédente)

${\frac {\Psi }{\Pi }}={\sqrt {\frac {{\dfrac {\gamma h^{2}-\mathrm {E} ^{2}}{\Pi ^{2}}}-\gamma +\alpha }{\gamma -\beta }}},$

il est clair que cette quantité ne peut être constante à moins que la quantité $\Pi$ ne soit elle-même constante ; et dans ce cas les deux autres quantités $\Psi$ et $\Phi$ seront aussi nécessairement constantes. Voyons donc les conditions qui peuvent rendre $\Pi$ égale à une constante.

Si l’on considère l’équation entre $\Pi$ et $t,$ trouvée à la fin de la Remarque précédente, on verra aisément que la quantité $\Pi$ sera constante, c’est-à-dire que la différentielle $d\Pi$ sera nulle si le dénominateur est nul en même temps ; mais pour que le temps $t$ puisse être quelconque, il faudra de plus, par les règles connues, que la différentielle de la quantité qui est sous le signe radical dans le dénominateur soit nulle aussi :