c’est pourqoi on aura ces deux équations de condition
![{\displaystyle \left[\beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}\right]\left[-\gamma k^{2}+\mathrm {E} ^{2}+(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}\right]=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44cbc669bcc003b3a48ba3528338a94c3c145033)
![{\displaystyle \left[\beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}\right](\gamma -\alpha )\Pi -\left[-\gamma k^{2}+\mathrm {E} ^{2}+(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}\right](\beta -\alpha )\Pi =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/630703b26cae5466354068034eba6b27d243e5ae)
La première donne : ou
![{\displaystyle \beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435ac8afc24f5089cb3fc47d8f850468a54bb4ad)
auquel cas la seconde donnera
![{\displaystyle {\text{ou}}\quad \Pi =0\quad {\text{ou}}\quad \gamma k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ae2520629dd5ff7e13206262a67082c22a5130)
ou bien
![{\displaystyle \gamma k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533427ef39d4245d31e2fed4aaef6c86ab7a5b3c)
auquel cas la seconde donnera
![{\displaystyle {\text{ou}}\quad \Pi =0\quad {\text{ou}}\quad \beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/824d0ec62b37f02a230d358ddcc441db18d339f2)
d’où l’on voit qu’il faut nécessairement que de ces trois quantités
![{\displaystyle \Pi ,\quad \beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2},\quad \gamma k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\gamma -\alpha )\Pi ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc4f42f0dd273545cd52a4c50a3ceb605f8225a8)
deux soient nulles à la fois ; ce qui donne trois combinaisons, et par conséquent trois cas différents où l’axe de rotation instantanée pourra être fixe dans le corps ; et comme on a
![{\displaystyle \Psi ^{2}={\frac {\gamma k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}}{\gamma -\beta }},\quad \Phi ^{2}={\frac {\beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}}{\beta -\gamma }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32e0b46ee1b0e55eb28ab8e70fb377336617839a)
il est clair que ces trois cas seront ceux où l’on aura en même temps
et
ou
et
ou
et
dans le premier cas on aura par les formules ci-dessus
![{\displaystyle \cos \rho =f'',\quad \cos \sigma =f',\quad \cos \omega =f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/761f2d224b10bf04d8000fbcbe55e78ffd8131a9)
dans le second on aura
![{\displaystyle \cos \rho =g'',\quad \cos \sigma =g',\quad \cos \omega =g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37a2bd3038c93512aacce2f1111354677004520a)
et enfin dans le troisième
![{\displaystyle \cos \rho =h'',\quad \cos \sigma =h',\quad \cos \omega =h.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb35a494d7fb51b5df95525673534c1dc820154)