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c’est pourqoi on aura ces deux équations de condition

$\left[\beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}\right]\left[-\gamma k^{2}+\mathrm {E} ^{2}+(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}\right]=0,$

$\left[\beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}\right](\gamma -\alpha )\Pi -\left[-\gamma k^{2}+\mathrm {E} ^{2}+(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}\right](\beta -\alpha )\Pi =0.$

La première donne : ou

$\beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}=0,$

auquel cas la seconde donnera

${\text{ou}}\quad \Pi =0\quad {\text{ou}}\quad \gamma k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}=0\,;$

ou bien

$\gamma k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}=0,$

auquel cas la seconde donnera

${\text{ou}}\quad \Pi =0\quad {\text{ou}}\quad \beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}=0\,;$

d’où l’on voit qu’il faut nécessairement que de ces trois quantités

$\Pi ,\quad \beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2},\quad \gamma k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\gamma -\alpha )\Pi ^{2},$

deux soient nulles à la fois ; ce qui donne trois combinaisons, et par conséquent trois cas différents où l’axe de rotation instantanée pourra être fixe dans le corps ; et comme on a

$\Psi ^{2}={\frac {\gamma k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\gamma -\alpha )\Pi ^{2}}{\gamma -\beta }},\quad \Phi ^{2}={\frac {\beta k^{2}-\mathrm {E} ^{2}-(\beta -\alpha )\Pi ^{2}}{\beta -\gamma }},$

il est clair que ces trois cas seront ceux où l’on aura en même temps $\Psi =0$ et $\Phi =0,$ ou $\Pi =0$ et $\Phi =0,$ ou $\Pi =0$ et $\Psi =0\,;$ dans le premier cas on aura par les formules ci-dessus

$\cos \rho =f'',\quad \cos \sigma =f',\quad \cos \omega =f,$

dans le second on aura

$\cos \rho =g'',\quad \cos \sigma =g',\quad \cos \omega =g,$

et enfin dans le troisième

$\cos \rho =h'',\quad \cos \sigma =h',\quad \cos \omega =h.$