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On voit donc qu’il y a dans chaque corps trois lignes droites qui peuvent être des axes de rotation fixes, et qu’il n’y en a, généralement parlant, que trois ; de plus, si l’on nomme $\varepsilon ,\varepsilon ',\varepsilon ''$ les angles que ces trois axes font entre eux, il est facile de voir, d’après ce qu’on a dit dans le n^o 5, qu’on aura, en général,

${\begin{aligned}gh+\ g'h'+g''h''=&\cos \varepsilon ,\\fh+f'h'+f''h''=&\cos \varepsilon ',\\fg+f'g'+\,f''g''=&\cos \varepsilon '',\end{aligned}}$

de sorte que (7) à cause de

${\begin{aligned}fg+f'g'\ +f''g''=&0,\\fh+f'h'+f''h''=&0,\\gh+g'h'\,+g''h''=&0,\end{aligned}}$

on aura

$\cos \varepsilon =0,\quad \cos \varepsilon '=0,\quad \cos \varepsilon ''=0,$

et par conséquent

$\varepsilon =90^{\circ },\quad \varepsilon '=90^{\circ },\quad \varepsilon ''=90^{\circ }\,;$

d’où il s’ensuit que les trois axes dont il s’agit seront nécessairement perpendiculaires entre eux.

Enfin, comme

${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}$

exprime le carré de la vitesse de chaque particule du corps, et que cette quantité est représentée, en général, par la formule

$\left({\frac {pd\varphi +qd\psi }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {rd\psi +pd\varpi }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {qd\varpi -rd\varphi }{dt}}\right)^{2},$

si l’on y substitue les valeurs de ${\frac {d\varphi }{dt}},{\frac {d\psi }{dt}},{\frac {d\varpi }{dt}}$ en $\Pi ,\Psi ,\Phi$ (Remarque précédente) on trouvera que la vitesse d’une particule quelconque, pour laquelle les coordonnéessont $p,q,r,$ sera, dans le cas de $\Psi =0$ et $\Phi =0,$

$\alpha \Pi {\sqrt {(pf'+qf'')^{2}+(rf''+pf)^{2}+(qf-rf')^{2}}}\,;$

dans le cas de $\Pi =0$ et $\Phi =0,$

$\beta \Psi {\sqrt {(pg'+qg'')^{2}+(rg''+pg)^{2}+(qg-rg')^{2}}}\,;$