On voit donc qu’il y a dans chaque corps trois lignes droites qui peuvent être des axes de rotation fixes, et qu’il n’y en a, généralement parlant, que trois ; de plus, si l’on nomme
les angles que ces trois axes font entre eux, il est facile de voir, d’après ce qu’on a dit dans le no 5, qu’on aura, en général,
![{\displaystyle {\begin{aligned}gh+\ g'h'+g''h''=&\cos \varepsilon ,\\fh+f'h'+f''h''=&\cos \varepsilon ',\\fg+f'g'+\,f''g''=&\cos \varepsilon '',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c323347474fe6e4df2a2b901ae3cb821999ab0)
de sorte que (7) à cause de
![{\displaystyle {\begin{aligned}fg+f'g'\ +f''g''=&0,\\fh+f'h'+f''h''=&0,\\gh+g'h'\,+g''h''=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a89c2dd99aeb8a0a46b7da02c3daa95a8f9e13)
on aura
![{\displaystyle \cos \varepsilon =0,\quad \cos \varepsilon '=0,\quad \cos \varepsilon ''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b585a253af41f3634d02d715ec6c344bd58ec19a)
et par conséquent
![{\displaystyle \varepsilon =90^{\circ },\quad \varepsilon '=90^{\circ },\quad \varepsilon ''=90^{\circ }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02621b8a34511f4d7bf27c38f6971febeddd8e92)
d’où il s’ensuit que les trois axes dont il s’agit seront nécessairement perpendiculaires entre eux.
Enfin, comme
![{\displaystyle {\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc15ee668ee5f6a796b40ade50e08afa8d9fd611)
exprime le carré de la vitesse de chaque particule du corps, et que cette quantité est représentée, en général, par la formule
![{\displaystyle \left({\frac {pd\varphi +qd\psi }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {rd\psi +pd\varpi }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {qd\varpi -rd\varphi }{dt}}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b85f98a88eb56147eba21a0298801faf5de304)
si l’on y substitue les valeurs de
en
(Remarque précédente) on trouvera que la vitesse d’une particule quelconque, pour laquelle les coordonnéessont
sera, dans le cas de
et ![{\displaystyle \Phi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b3a91f6262c08af7d391c672401234433c533c)
![{\displaystyle \alpha \Pi {\sqrt {(pf'+qf'')^{2}+(rf''+pf)^{2}+(qf-rf')^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8bd8db80378d89ec98fb95fecea44ce099d2e1)
dans le cas de
et ![{\displaystyle \Phi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b3a91f6262c08af7d391c672401234433c533c)
![{\displaystyle \beta \Psi {\sqrt {(pg'+qg'')^{2}+(rg''+pg)^{2}+(qg-rg')^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4900edd4e419d9845d167b1430e0a510614980c9)