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pour qu’une série puisse être regardée comme représentant réellement la valeur d’une quantité cherchée, il faut qu’elle soit convergente à son extrémité, c’est-à-dire que ses derniers termes soient infiniment petits, de sorte que l’erreur puisse devenir moindre qu’aucune quantité donnée. Voyons donc comment on pourra reconnaître si cette condition a lieu ou non dans les séries des paragraphes précédents.

Pour rendre notre recherche aussi générale qu’il est possible, nous considéreronsl’équation générale (H) du n^o 16, savoir

$\alpha -x+\varphi (x)=0,$

laquelle donne en général (n^o 17, formule K)

${\begin{aligned}\psi \left({\frac {x}{\alpha }}\right)=&\psi (y)+{\frac {\varphi (\alpha y)\psi '(y)}{\alpha }}+{\frac {1}{2\alpha ^{2}}}{\frac {d\varphi (\alpha y)^{2}\psi '(y)}{dy}}\\&+{\frac {1}{2.3.\alpha ^{3}}}{\frac {d^{2}\left[\varphi (\alpha y)^{3}\psi '(y)\right]}{dy^{2}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

la variable $y$ devant être faite égale à $1$ après les différentiations.

Soit donc

${\frac {1}{1.2.3\ldots i.\alpha ^{i}}}{\frac {d^{i-1}\left[\varphi (\alpha y)^{i}\psi '(y)\right]}{dy^{i-1}}}$

un terme quelconque de cette sériee dont le quantième soit $i+1\,;$ et supposons que la fonction $\varphi (x)$ soit représentée par une suite quelconque de puissances de $x,$ en sorte que l’on ait

$\varphi (x)=\mathrm {A} x^{a}+\mathrm {B} x^{b}+\mathrm {C} x^{c}+\ldots ,$

$\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ étant des coefficients quelconques, et $a,b,c,$ des exposants aussi quelconques ; on aura donc de même

$\varphi (\alpha y)=\mathrm {A} \alpha ^{a}y^{a}+\mathrm {B} \alpha ^{b}y^{b}+\mathrm {C} \alpha ^{c}y^{c}+\ldots ,$

par conséquent un terme quelconque de la puissance $i$^ième de cette quantité, c’est-à-dire de la valeur de $\varphi (\alpha y)^{i}$ sera, comme on sait,

${\frac {1.2.3\ldots i}{1.2.3\ldots m\times 1.2.3\ldots n\times 1.2.3\ldots p\times \ldots }}\mathrm {A} ^{m}\mathrm {B} ^{n}\mathrm {C} ^{p}\ldots (\alpha y)^{am+bn+cp+\ldots },$