la quantité
![{\displaystyle {\frac {dxdy}{r}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701fde6c87d91eed99cb62f02d6ba0915f14be80)
ou l’équation
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=f^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843354ef021059d0c1a6a8391b6a04227d7cb51e)
donne
![{\displaystyle z=\pm {\sqrt {f^{2}-x^{2}-y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4857caa08211d57a0ccfda78559ae6ae0e98e44)
en sorte que les deux valeurs extrêmes de
sont
![{\displaystyle +{\sqrt {f^{2}-x^{2}-y^{2}}}\quad {\text{et}}\quad -{\sqrt {f^{2}-x^{2}-y^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fab356d3937e43e1251ba30a6b93d475241f86b)
ainsi pour compléter l’intégrale
il faudra la prendre en sorte qu’elle soit nulle lorsque
![{\displaystyle z=-{\sqrt {f^{2}-x^{2}-y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f6401042184d49085731033dcea648bcb8f69d3)
et qu’elle finisse quand
![{\displaystyle z=+{\sqrt {f^{2}-x^{2}-y^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb53e759c73cda6c26ef5f67f37404374461f114)
ce qui donnera donc, en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5379c76a78c09ee43968f381bbf55cb3e08c5301)
l’intégrale complète
![{\displaystyle {\frac {dxdy}{\sqrt {f^{2}+g^{2}-2ax-2by-2c{\sqrt {f^{2}-x^{2}-y^{2}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6685f0185565d11733e85634d96dec6d0d11049c)
![{\displaystyle -{\frac {dxdy}{\sqrt {f^{2}+g^{2}-2ax-2by+2c{\sqrt {f^{2}-x^{2}-y^{2}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4480e48e39b0a2a14795f3bd74e2ab23faf22f72)
Il faudrait maintenant intégrer de nouveau ces quantités en faisant varier
ou
mais c’est ce qui ne paraît pas aisé à cause des deux signes radicaux qui y entrent.
On rencontrera les mêmes difficultés si l’on veut intégrer les deux autres formules qui donnent les forces parallèles aux coordonnées
et
de sorte qu’en s’y prenant de la manière ci-dessus il sera presque impossible de déterminer l’attraction d’une sphère sur un point placé dans un endroit quelconque ; cependant on sait que ce Problème est très-facile à résoudre lorsqu’on suppose la sphère partagée en une infinité de petits cylindres ayant tous pour axe la ligne qui joint le point attiré et le centre