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de la sphère, et qu’on cherche d’abord l’attraction exercée par chacun de ces petits cylindres, et ensuite la somme de toutes ces attractions, par l’intégration.

On voit donc par là combien il est important dans cette recherche d’employer à la place des trois coordonnées rectangles $x,y,z,$ d’autres variables qui puissent faciliter les intégrations qu’elle demande. Nous allons donner dans le Problème suivant les principes nécessaires pour cet objet.

Problème II.

3. Supposons qu’on ait la différentielle $\mathrm {P} dxdydz,$ où $\mathrm {P}$ soit une fonction donnée de $x,y,z,$ et qui doive être intégrée trois fois en faisant varier successivement les changeantes $x,y,z,$ et en observant les conditions énoncées dans le Problème I ; on propose d’introduire à la place de ces changeantes trois autres changeantes $p,q,r,$ qui soient des fonctions données de celles-là.

Puisque $p,q,r$ sont supposées des fonctions de $x,y,z,$ on aura aussi réciproquement $x,y,z$ exprimées par des fonctions de $p,q,r\,;$ on fera donc d’abord ces substitutions dans la quantité $\mathrm {P} ,$ ce qui la réduira à une fonction de $p,q,r,$ et il n’y aura de difficulté que par rapport à la quantité $dxdydz.$

Qu’on cherche par la différentiation les valeurs des différences $dx,dy,dz,$ et l’on aura, en général,

${\begin{aligned}dx=&\mathrm {A} dp+\mathrm {B} dq+\mathrm {C} dr,\\dy=&\mathrm {D} dp+\mathrm {E} dq+\mathrm {F} dr,\\dz=&\mathrm {G} dp+\mathrm {H} dq+\mathrm {I} dr,\end{aligned}}$

$\mathrm {A,B,C} ,$ étant des fonctions connues de $p,q,r\,;$ or il est facile de comprendre que pour avoir la valeur de $dxdydz,$ on ne doit pas multiplier ensemble les valeurs précédentes de $dx,dy,dz\,;$ car alors la différentielle $\mathrm {P} dxdydz$ contiendrait des termes où les différences $dp,dq,dr$ se trouveraient élevées au carré ou au cube, en sorte que la triple intégration qui doit se faire relativement aux trois variables $p,q,r$ ne pourrait