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en sorte qu’on aura

$dx=\mathrm {A} dp.$

Maintenant, multipliant ensemble ces valeurs, on aura

$dxdydz=\mathrm {\left[G(BF-CE)+H(CD-AF)+I(AE-BD)\right]} dpdqdr,$

ou l’on observera que la quantité

$\mathrm {G(BF-CE)+H(CD-AF)+I(AE-BD)}$

ou bien

$\mathrm {AEI+BFG+CDH-AFH-BDI-CEG}$

demeure la même, ou change tout au plus de signe, en échangeant respectivement entre eux les trois systèmes de quantités $\mathrm {A,B,C\,;\ D,E,F} \,;$$\mathrm {G,H,I} \,;$ de sorte qu’on aura le même résultat si, au lieu de chercher d’abord comme nous l’avons fait la valeur de $dz,$ ensuite celle de $dy$ et de $dx,$ on voulait commencer par chercher celle de $dy$ ou de $dx,$ et ensuite celle d’une quelconque des deux autres différentielles. Il ne pourra y avoir de différence que dans le signe, mais elle ne sera ici d’aucune conséquence, puisqu’il est indifférent de prendre l’élément $\alpha =dxdydz$ en plus ou en moins ; cependant, comme il est plus naturel de regarder cette quantité comme positive, on aura toujours soin de prendre la valeur de $\alpha$ positivement ; c’est pourquoi nous supposerons, en général,

$\alpha =\pm (\mathrm {AEI+BFG+CDH-AFH-BDI-CEG} )dpdqdr.$

4. Corollaire. — Une des transformations les plus utiles et les plus ordinaires est d’introduire à la place des coordonnées rectangles $x,y,z$ un rayon vecteur $r$ partant d’un point fixe qu’on nomme le centre des rayons, avec deux angles $p$ et $q$ qui déterminent la position de ce rayon ; et dont l’un $p$ soit celui que le même rayon fait avec un des axes des coordonnées comme avec l’axe des $z$ ou bien avec un axe parallèle à celui-ci, mais passant par le centre des rayons ; et dont l’autre $q$ soit l’angle que la projection du rayon $r$ sur le plan des coordonnées $x,y$ fait avec l’axe des $x,$ ou, ce qui est la même chose, avec un axe parallèle à