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aura aussi nécessairement deux racines $q'$ et $q''\,;$ ainsi l’on intégrera pour la troisième fois en faisant varier $q,$ et l’on prendra l’intégrale en sorte qu’elle commence où $q=q'$ et qu’elle finisse où $q=q''.$ On aura de cette manière l’intégrale complète de la différentielle proposée. Il faut seulement remarquer qu’il peut arriver que l’équation $p'=p'',$ qui doit donner les deux valeurs extrêmes de $q,$ soit impossible, ou qu’elle ne renferme point la variable $q\,;$ dans ce cas ce sera une marque que l’angle $q$ peut recevoir toutes les valeurs possibles, et pour compléter l’intégrale il suffira alors de la prendre depuis $q=0$ jusqu’à $q=180^{\circ },$ c’est-à-dire qu’on prendra $q'=0$ et $q''=180^{\circ }.$ On remarquera encore que dans le cas où les valeurs de $p'$ et $p''$ seront indépendantes de $q,$ les intégrations relatives à $p$ et $q$ seront indépendantes l’une de l’autre, puisque les quantités $p'$ et $p''$ auront, ainsi que les quantités $q'$ et $q'',$ des valeurs absolues et données. D’où il suit qu’il sera indifférent dans ce cas de commencer par l’intégration relative à $p$ ou par celle qui regarde $q,$ et qu’il conviendra par conséquent de commencer par celle des deux qui rendra le calcul plus facile.

2^o Lorsque le centre des rayons $r$ est au dedans du corps, il est visible que les angles $p$ et $q$ peuvent recevoir toutes les valeurs possibles, puisque dans quelque position que le rayon $r$ se trouve il rencontre toujours nécessairement la surface du corps ; de plus il est clair que le même rayon, étant prolongé de part et d’autre du centre, doit rencontrer la surface du corps des deux côtés ; et l’on déterminera les deux valeurs de $r,$ que nous désignerons par $r'$ et $r'',$ par la résolution de l’équation à la surface entre les coordonnées $r,p,q.$ Or il est facile de concevoir que, pour avoir dans ce cas l’intégrale complète de $\mathrm {P} \alpha ,$ il suffira d’intégrer d’abord en faisant varier $r$ seul et de manière que l’intégrale soit nulle lorsque $r=0,$ et de prendre la somme des valeurs de l’intégrale qui répondent à $r=r'$ et à $r=r''\,;$ d’intégrer ensuite cette quantité en faisant varier successivement les angles $p$ et $q,$ et de prendre chacune de ces intégrales particulières en sorte qu’elle soit nulle, et complète lorsque $p$ ou $q$ est égal à $180$ degrés. Et comme les intégrations qui regardent les variables $p$ et $q$ sont absolues et indépendantes l’une de l’autre,