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n^o 4, et l’on aura

$\alpha =r^{2}\sin pdpdqdr,$

$x-a=r\sin p\cos q,\quad y-b=r\sin p\sin q,\quad z-c=r\cos p,$

et les trois attractions élémentaires deviendront celles-ci

${\begin{aligned}\sin ^{2}p\cos qdpdqdr&\quad {\text{suivant}}\quad a,\\\sin ^{2}p\,\sin qdpdqdr&\quad {\text{suivant}}\quad b,\\\sin \ \ p\cos pdpdqdr&\quad {\text{suivant}}\quad c.\end{aligned}}$

Maintenant, comme le rayon est supposé mené du point attiré, il est clair que ce point sera ici le centre même des rayons ; par conséquent il faudra procéder dans l’intégration d’une manière différente suivant que le point attiré sera hors du corps ou au dedans. Dans le Problème présent nous supposons que ce point est placé dans l’intérieur du corps, ainsi l’on suivra les règles données ci-dessus (5, 2^o).

On commencera donc par intégrer par rapport à $r,$ et nommant $r'$ et $r''$ les deux valeurs de $r$ qu’on trouvera par la résolution de l’équation à la surface donnée, on aura ces premières intégrales

${\begin{aligned}&(r'+r'')\sin ^{2}p\cos qdpdq,\\&(r'+r'')\sin ^{2}p\sin qdpdq,\\&(r'+r'')\sin \ \,p\cos pdpdq.\end{aligned}}$

maintenant on sait que les surfaces du second ordre qui sont renfermées dans un espace fini peuvent être représentées toutes par l’équation

$z^{2}+mx^{2}+ny^{2}=k,$

$m,n,k$ étant des coefficients quelconques positifs ; et il est clair, par la nature de cette équation, que les axes des trois coordonnées rectangles $x,y,z$ seront tels, que les plans passant par deux quelconques d’entre eux partageront la surface en deux parties parfaitement égales ; de sorte que ces axes seront en même temps les axes de la surface, et leur intersection commune en sera le centre. Qu’on substitue donc dans cette équation à