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infiniment grand, on a, sans erreur sensible,

${\begin{aligned}\log 1+\log 2+\log 3+\ldots \log x=&\left(x+{\frac {1}{2}}\right)\log x-x+{\frac {1}{2}}\log \varpi \\=&\left(x+{\frac {1}{2}}\right)\log x-\log e^{x}+{\frac {1}{2}}\log \varpi ,\end{aligned}}$

d’où, en passant des logarithmes aux nombres, on tire dans la même hypothèse

$1.2.3\ldots x={\frac {{\sqrt {\varpi }}x^{x+{\frac {1}{2}}}}{e^{x}}}.$

On a de plus, en général, quels que soient $x$ et $y,$

${\begin{aligned}\log x&+\log(x-1)+\log(x-2)+\ldots +\log(x-y+1)\\=&\left(x+{\frac {1}{2}}\right)\log x-x+{\frac {1}{12x}}-{\frac {1}{360x^{3}}}+\ldots \\&-\left(x-y+{\frac {1}{2}}\right)\log(x-y)+x-y-{\frac {1}{12(x-y)}}+{\frac {1}{360(x-y)^{3}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

de sorte qu’en supposant $x$ et $y$ infiniment grands, on aura

${\begin{aligned}\log x&+\log(x-1)+\log(x-2)+\ldots +\log(x-y+1)\\=&\left(x+{\frac {1}{2}}\right)\log x-\left(x-y+{\frac {1}{2}}\right)\log(x-y)-y,\end{aligned}}$

et par conséquent, en passant des logarithmes aux nombres,

$x(x-1)(x-2)\ldots (x-y+1)={\frac {x^{x+{\frac {1}{2}}}e^{-f}}{(x-y)^{x-y+{\frac {1}{2}}}}}.$

De là il s’ensuit, pour le dire en passant, que le coefficient du $(y+1)$^ième terme du binôme élevé à la puissance $x$ sera, lorsque $x$ et $y$ sont très-grands,

${\frac {x^{x+{\frac {1}{2}}}}{{\sqrt {\varpi }}\times (x-y)^{x-y+{\frac {1}{2}}}\times y^{y+{\frac {1}{2}}}}}\,;$

de sorte qu’en faisant $y=px$ ce coefficient deviendra, en divisant le