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voudrait. En effet, il n’y aura qu’à substituer $m+n\sin ^{2}q$ au lieu de $m$ dans les valeurs de

$\mathrm {Q} ={\frac {2\left(1+\mu ^{2}\right)}{m\mu ^{3}}}\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu -{\frac {2}{m\mu ^{2}}}$

et de

$\mathrm {Q} '={\frac {2}{m\mu ^{2}}}-{\frac {2\operatorname {arc} \,\operatorname {tang} \mu }{m\mu ^{3}}}$

${\Bigl (}\mu ^{2}$ étant ${\frac {1-m}{m}}{\Bigr )},$ et développer ensuite ces quantités suivant les puissances de $\nu \,;$ ce qui changera la quantité $\mathrm {Q}$ en

$\mathrm {Q} +{\frac {d\mathrm {Q} }{dm}}\nu \sin ^{2}q+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dm^{2}}}\nu ^{2}\sin ^{4}q+\ldots ,$

et la quantité $\mathrm {Q} '$ en

$\mathrm {Q} '+{\frac {d\mathrm {Q} '}{dm}}\nu \sin ^{2}q+{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} '}{dm^{2}}}\nu ^{2}\sin ^{4}q+\ldots \,;$

on multipliera maintenant la première de ces quantités par $\cos ^{2}qdq$ et par $\sin ^{2}qdq,$ et la seconde par $dq,$ et, prenant les intégrales en sorte qu’elles soient nulles lorsque $q=0$ et complètes lorsque $q=180^{\circ },$ on aura les valeurs cherchées des quantités $\mathrm {B,F,G} .$

On aura donc de cette manière

${\begin{aligned}&\mathrm {B} =\\&\left({\frac {1}{2}}\mathrm {Q} +\ \ {\frac {\nu }{8}}{\frac {d\mathrm {Q} }{dm}}+\ \ {\frac {2\nu ^{2}}{32}}{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dm^{2}}}+\ \ {\frac {5\nu ^{3}}{128}}{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}\mathrm {Q} }{dm^{3}}}+\ \ {\frac {14\nu ^{4}}{512}}{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{4}\mathrm {Q} }{dm^{4}}}+\ldots \right)180^{\circ },\\&\mathrm {F} =\\&\left({\frac {1}{2}}\mathrm {Q} +{\frac {3\nu }{8}}{\frac {d\mathrm {Q} }{dm}}+{\frac {10\nu ^{2}}{32}}{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dm^{2}}}+{\frac {35\nu ^{3}}{128}}{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}\mathrm {Q} }{dm^{3}}}+{\frac {126\nu ^{4}}{512}}{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{4}\mathrm {Q} }{dm^{4}}}+\ldots \right)180^{\circ },\\&\mathrm {G} =\\&\left(\,\mathrm {Q} '+\ \ {\frac {\nu }{2}}{\frac {d\mathrm {Q} '}{dm}}+{\frac {3\nu ^{2}}{8}}{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {Q} '}{dm^{2}}}+\ {\frac {10\nu ^{3}}{32}}{\frac {1}{2.3}}{\frac {d^{3}\mathrm {Q} '}{dm^{3}}}+\ \ {\frac {35\nu ^{4}}{128}}{\frac {1}{2.3.4}}{\frac {d^{4}\mathrm {Q} '}{dm^{4}}}+\ldots \right)180^{\circ }.\end{aligned}}$

Problème IV.

12. Les mêmes choses étant supposées que dans le Problème III, on demande l’attraction du sphéroïde sur un point placé au dehors.

On aura dans ce cas les mêmes formules différentielles que dans celui du Problème cité ; toute la différence consistera dans la manière de com-