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pléter chaque intégrale ; on suivra pour cela les règles données dans le n^o 5, il, et il est facile de voir qu’après la première intégration suivant la variabilité de $r,$ on aura les mêmes formules que dans le Problème III, mais avec cette différence qu’au lieu de la somme $r'+r''$ des deux valeurs de $r$ il faudra mettre leur différence $r'-r''.$ Ainsi les premières intégrales des trois attractions suivant les trois axes du sphéroïde seront

${\begin{aligned}&(r'-r'')\sin ^{2}p\cos qdpdq,\\&(r'-r'')\sin ^{2}p\sin qdpdq,\\&(r'-r'')\sin \ \,p\cos qdpdq.\end{aligned}}$

Maintenant, si l’on représente par

$r^{2}+2\varpi +\rho =0$

l’équation en $r$ dont $r'$ et $r''$ sont les racines, on aura, comme on sait,

$(r'-r'')^{2}=4\left(\varpi ^{2}-\rho \right)\,;$

donc

$r'-r''=2{\sqrt {\varpi ^{2}-\rho }}.$

Qu’on suppose, pour abréger,

${\begin{aligned}&c\cos p+ma\sin p\cos q+nb\sin p\sin q=\mathrm {M} ,\\&\cos ^{2}p+m\sin ^{2}p\cos ^{2}q+n\sin ^{2}p\sin ^{2}q=\mathrm {N} ,\\&c^{2}+ma^{2}+nb^{2}-k=h,\end{aligned}}$

et l’on aura (Problème III)

$\varpi =\mathrm {\frac {M}{N}} ,\quad \rho ={\frac {h}{\mathrm {N} }}\,;$

donc

$r'-r''={\frac {2{\sqrt {\mathrm {M} ^{2}-h\mathrm {N} }}}{\mathrm {N} }}.$

Ainsi il n’y aura qu’à substituer cette valeur dans les formules précédentes et intégrer ensuite par rapport à la variable $p\,;$ pour compléter ces intégrales on fera $r'=r'',$ c’est-à-dire $r'-r''=0,$ et l’on aura

$\mathrm {M} ^{2}-h\mathrm {N} =0,$