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5. De plus, comme on a (3)

$xy'z''+yz'x''+zx'y''-xz'y''-yx'z''-zy'x''$

$={\sqrt {aa'a''+2bb'b''-ab^{2}-a'b'^{2}-a''b''^{2}}}=\Delta ,$

et qu’il y a entre les quantités $x,y,z,x',\ldots$ et $a,a',a'',b,\ldots$ les mêmes relations qu’entre les quantités $\xi ,\eta ,\zeta ,\xi ',\ldots$ et $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\beta ',\ldots$ (1), on aura donc aussi

$\xi \eta '\zeta ''+\eta \zeta '\xi ''+\zeta \xi '\eta ''-\xi \zeta '\eta ''-\eta \xi '\zeta ''-\zeta \eta '\xi ''$

$={\sqrt {\alpha \alpha '\alpha ''+2\beta \beta '\beta ''-\alpha \beta ^{2}-\alpha '\beta '^{2}-\alpha ''\beta ''^{2}}}=\Delta ^{2}.$

Donc on aura cette équation identique et très-remarquable

$\xi \eta '\zeta ''+\eta \zeta '\xi ''+\zeta \xi '\eta ''-\xi \zeta '\eta ''-\eta \xi '\zeta ''-\zeta \eta '\xi ''$

$=\left(xy'z''+yz'x''+zx'y''-xz'y''-yx'z''-zy'x''\right)^{2}.$

6. Si les six quantités $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\beta ,\beta ',\beta ''$ étaient données et qu’on voulût déterminer par leur moyen les six quantités $a,a',a'',b,b',b'',$ il serait peut-être très-difficile d’en venir à bout à l’aide des six équations du n^o 1 entre ces quantités ; mais on y parviendrait aisément par les formules des numéros suivants.

On formera pour cela les six quantités $\mathrm {A,A',A'',B,B',B''}$ (2) ; ensuite on formera la quantité (4)

$\Delta ^{2}={\sqrt {\alpha \alpha '\alpha ''+2\beta \beta '\beta ''-\alpha \beta ^{2}-\alpha '\beta '^{2}-\alpha ''\beta ''^{2}}},$

et l’on aura sur-le-champ (3)

${\begin{alignedat}{3}a=&{\frac {\mathrm {A} }{\Delta ^{2}}},&\quad a'=&{\frac {\mathrm {A} '}{\Delta ^{2}}},&\quad a''=&{\frac {\mathrm {A} ''}{\Delta ^{2}}},\\b=&{\frac {\mathrm {B} }{\Delta ^{2}}},&b'=&{\frac {\mathrm {B} '}{\Delta ^{2}}},&b''=&{\frac {\mathrm {B} ''}{\Delta ^{2}}}.\end{alignedat}}$

7. Si l’on multiplie les neuf premières équations du n^o 1 respectivement par $x,x',x'',y,y',y'',z,z',z'',$ et qu’on les ajoute ensemble trois