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Ensuite la première équation donnera

$l=z-mn-ny={\frac {z(\zeta +\zeta '+\zeta '')+x(\xi +\xi '+\xi '')+y(\eta +\eta '+\eta '')}{\zeta +\zeta '+\zeta ''}},$

ce qui, en vertu des équations du n^o 7, se réduit à cette expression fort simple

$l={\frac {\Delta }{\zeta +\zeta '+\zeta ''}}.$

On a donc ainsi l’équation du plan de la base de la pyramide ; nous l’avons cherchée d’autant plus volontiers qu’elle nous sera fort utile encore dans la suite.

14. Or la ligne menée du sommet $\mathrm {L}$ à un point quelconque $\mathrm {N}$ de ce plan, c’est-à-dire la distance des points $\mathrm {L}$ et $\mathrm {N} ,$ est exprimée par

${\sqrt {s^{2}+t^{2}+u^{2}}},$

et il est clair que la plus courte de toutes ces lignes sera la quantité cherchée $h\,;$ ainsi il n’y aura qu’à faire égale à zéro la différentielle de ${\sqrt {s^{2}+t^{2}+u^{2}}},$ ce qui donne

$sds+tdt+udu=0\,;$

mais l’équation

$u=l+ms+nt$

donne

$du=mds+ndt\,;$

donc substituant cette valeur et égalant séparément à zéro les coefficients de $ds$ et de $dt,$ on aura

$s+mu=0,\quad t+nu=0,$

donc

$s=-mu,\quad t=-nu\,;$

ce qui, étant substitué dans l’équation

$u=l+ms+nt$

donne

$u=l-m^{2}u-n^{2}u,$