Ensuite la première équation donnera
![{\displaystyle l=z-mn-ny={\frac {z(\zeta +\zeta '+\zeta '')+x(\xi +\xi '+\xi '')+y(\eta +\eta '+\eta '')}{\zeta +\zeta '+\zeta ''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e2ebbedbd0edf4d3b2bbcd1e0c85a4c1b8cb24)
ce qui, en vertu des équations du no 7, se réduit à cette expression fort simple
![{\displaystyle l={\frac {\Delta }{\zeta +\zeta '+\zeta ''}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a23fd7192d2559dd23828d9373e75cb56b0375cd)
On a donc ainsi l’équation du plan de la base de la pyramide ; nous l’avons cherchée d’autant plus volontiers qu’elle nous sera fort utile encore dans la suite.
14. Or la ligne menée du sommet
à un point quelconque
de ce plan, c’est-à-dire la distance des points
et
est exprimée par
![{\displaystyle {\sqrt {s^{2}+t^{2}+u^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc5aa0bc2adf964effdcdab5b5cc6f2891660973)
et il est clair que la plus courte de toutes ces lignes sera la quantité cherchée
ainsi il n’y aura qu’à faire égale à zéro la différentielle de
ce qui donne
![{\displaystyle sds+tdt+udu=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667d710236766a5b8ea49893f08b7bf09b707722)
mais l’équation
![{\displaystyle u=l+ms+nt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cb82c816a7046b70e504bd3def1718edfb358f)
donne
![{\displaystyle du=mds+ndt\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/261ad1f781dbc57374f3e1d0149a5ca35b73da33)
donc substituant cette valeur et égalant séparément à zéro les coefficients de
et de
on aura
![{\displaystyle s+mu=0,\quad t+nu=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41615721ac4ad03a5b2c3fd51c4d4b1c30b71f7)
donc
![{\displaystyle s=-mu,\quad t=-nu\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ae355d4e0c06d5e26664f4c7ac852c349b471af)
ce qui, étant substitué dans l’équation
![{\displaystyle u=l+ms+nt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50cb82c816a7046b70e504bd3def1718edfb358f)
donne
![{\displaystyle u=l-m^{2}u-n^{2}u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11354350cdbf2d353e7c18d08922feff83fe9e9a)