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et de là

$u={\frac {l}{1+m^{2}+n^{2}}},\quad t=-{\frac {nl}{1+m^{2}+n^{2}}},\quad s=-{\frac {ml}{1+m^{2}+n^{2}}},$

et, substituant ces valeurs dans l’expression ${\sqrt {s^{2}+t^{2}+u^{2}}},$ on aura la valeur cherchée de $h,$ qui sera donc

${\frac {l}{\sqrt {1+m^{2}+n^{2}}}}.$

Substituons à présent à la place de $l,m,n$ leurs valeurs trouvées ci-dessus, on aura

$h={\frac {\Delta }{\sqrt {(\xi +\xi '+\xi '')^{2}+(\eta +\eta '+\eta '')^{2}+(\zeta +\zeta '+\zeta '')^{2}}}},$

c’est-à-dire, en développant les termes qui sont sous le signe et faisant les substitutions du n^o 1,

$h={\frac {\Delta }{\sqrt {\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''}}}.$

Mais on a trouvé (12)

$\mathrm {E} ={\frac {\sqrt {\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''}}{2}}\,;$

donc on aura pour la solidité ${\frac {\mathrm {E} h}{3}}$ de notre pyramide la quantité ${\frac {\Delta }{6}}.$ C’est ce que nous avons déjà démontré d’une autre manière ci-dessus, où nous avons nommé la même quantité que nous désignons ici par $\Delta$^[1].

15. Il est bien remarquable que la quantité $\Delta$ exprime la solidité de la pyramide prise six fois ; si donc on veut exprimer cette solidité par les six côtés ${\sqrt {a}},{\sqrt {a'}},{\sqrt {a''}},{\sqrt {c}},{\sqrt {c'}},{\sqrt {c''}},$ il n’y aura qu’à mettre dans la valeur de $\Delta ,$ à la place de $b,b',b'',$ les expressions du n^o 10 ; mais il sera plus simple de conserver les quantités mêmes $b,b',b'',$ et l’on aura (3) la solidité cherchée égale à

${\frac {\sqrt {aa'a''+2bb'b''-ab^{2}-a'b'^{2}-a''b''^{2}}}{6}}.$

1. Œuvres de Lagrange, t. III, p. 585.