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également distant des quatre angles $\mathrm {L,M,M',M''}$ de la pyramide du n^o 9 ; il est clair que ce point deviendra le centre de la sphère qui serait circonscrite à cette pyramide. On aura donc dans ce cas

$f=g=g'=g'',$

et l’équation du numéro précédent deviendra

$4\Delta ^{2}f=\alpha a^{2}+\alpha 'a'^{2}+\alpha ''a''^{2}+2\left(\beta ''aa'+\beta 'aa''+\beta a'a''\right),$

d’où l’on tire

$f={\frac {\alpha a^{2}+\alpha 'a'^{2}+\alpha ''a''^{2}+2\left(\beta ''aa'+\beta 'aa''+\beta a'a''\right)}{4\Delta ^{2}}}\,;$

et cette quantité $f$ sera le carré du rayon de la sphère circonscrite à la pyramide.

Quant à la position du centre de cette sphère, elle sera déterminée par les coordonnées $p,q,r,$ lesquelles, à cause de

$k={\frac {a}{2}},\quad k'={\frac {a'}{2}},\quad k''={\frac {a''}{2}},$

auront les valeurs suivantes (18)

${\begin{aligned}p=&{\frac {a\xi +a'\xi '+a''\xi ''}{2\Delta }},\\q=&{\frac {a\eta +a'\eta '+a''\eta ''}{2\Delta }},\\r=&{\frac {a\zeta +a'\zeta '+a''\zeta ''}{2\Delta }},\end{aligned}}$

ou bien en substituant pour $\xi ,\xi ',\xi '',\eta ,\ldots$ leurs valeurs en $x,x',\ldots$ (8),

${\begin{aligned}p=&{\frac {(a\alpha +a'\beta ''+a''\beta ')x+(a\beta ''+a'\alpha '+a''\beta )x'+(a\beta '+a'\beta +a''\alpha '')x''}{2\Delta ^{2}}},\\q=&{\frac {(a\alpha +a'\beta ''+a''\beta ')y+(a\beta ''+a'\alpha '+a''\beta )y'+(a\beta '+a'\beta +a''\alpha '')y''}{2\Delta ^{2}}},\\r=&{\frac {(a\alpha +a'\beta ''+a''\beta ')z+(a\beta ''+a'\alpha '+a''\beta )z'+(a\beta '+a'\beta +a''\alpha '')z''}{2\Delta ^{2}}}.\end{aligned}}$

22. Considérons encore le même point $\mathrm {P}$ déterminé par les coordon-