pyramide donnée sont (12)
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\alpha }}{2}},\quad {\frac {\sqrt {\alpha '}}{2}},\quad {\frac {\sqrt {\alpha ''}}{2}},\quad {\frac {\sqrt {\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''}}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1257bcd9eeb5f717dafdec57c366e11299d6c3ce)
donc, multipliant ces aires par le tiers des perpendiculaires
et
abaissées du point
sur ces mêmes faces, on aura les quantités
![{\displaystyle {\frac {\rho {\sqrt {\alpha }}}{6}},\quad {\frac {\rho '{\sqrt {\alpha '}}}{6}},\quad {\frac {\rho ''{\sqrt {\alpha ''}}}{6}},\quad {\frac {\varpi {\sqrt {\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''}}}{6}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1fe29622e180dcdd439629ef9d8d5ef5a61a4e)
qui exprimeront les solidités des quatre pyramides partielles qui ont le point
pour sommet commun et les triangles
pour bases ; mais la somme de ces solidités doit être égale à la solidité totale de la pyramide donnée, laquelle étant exprimée (14) par
on aura par conséquent l’équation ci-dessus ; ce qui pourrait servir, s’il était nécessaire, à prouver la bonté de nos calculs.
25. Si les trois perpendiculaires
étaient supposées données et qu’on voulût connaître la position du point
d’où elles sont menées, il n’y aurait qu’à tirer les valeurs des coordonnées
de ces trois équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi \ \ p+\eta \ \ q+\zeta \ \ r=&\rho \ \ {\sqrt {\alpha }},\\\xi '\ p+\eta '\ q+\zeta '\ r=&\rho '\ {\sqrt {\alpha '}},\\\xi ''p+\eta ''q+\zeta ''r=&\rho ''{\sqrt {\alpha ''}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f45a0a724d2d2f34d932252f7449ee35c02b92f9)
et l’on trouvera pour
des expressions analogues à celles du no 18 en y changeants
en
et
en ![{\displaystyle \xi ,\eta ,\zeta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31513a4a9c371517e31f18e361e80b2b60603412)
ce qui change ces dernières en
(1 et 2), c’est-à-dire en
(3), et la quantité
en
(5).
De sorte qu’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}p=&{\frac {\rho {\sqrt {\alpha }}x+\rho '{\sqrt {\alpha '}}x'+\rho ''{\sqrt {\alpha ''}}x''}{\Delta }},\\q=&{\frac {\rho {\sqrt {\alpha }}y+\rho '{\sqrt {\alpha '}}y'+\rho ''{\sqrt {\alpha ''}}y''}{\Delta }},\\r=&{\frac {\rho {\sqrt {\alpha }}z+\rho '{\sqrt {\alpha '}}z'+\rho ''{\sqrt {\alpha ''}}z''}{\Delta }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66d058ae328ee7d571fa8e6b438d04b5e992016a)