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Et si l’on veut déterminer ce point par ses distances ${\sqrt {f}},{\sqrt {g}},{\sqrt {g'}},{\sqrt {g''}}$ au sommet et aux trois angles de la base de la pyramide donnée, on aura, par les formules du n^o 26,

$f=a\mu ^{2}+a'\mu '^{2}+a''\mu ''^{2}+2b''\mu \mu '+2b'\mu \mu ''+2b\mu '\mu '',$

${\begin{aligned}{\frac {a\ \ +f-g\ \ }{2}}=&a\mu +b''\mu '+b'\mu '',\\{\frac {a'\ +f-g'\ }{2}}=&b''\mu +a'\mu '+b\mu '',\\{\frac {a''+f-g''}{2}}=&b'\mu +b\mu '+a''\mu ''.\end{aligned}}$

29. Si maintenant on suppose dans les formules du n^o 24

$\varpi =\rho =\rho '=\rho '',$

il est clair que le point $\mathrm {P}$ deviendra le centre de la sphère inscrite à la pyramide, et que $\varpi$ en sera le rayon ; ainsi l’équation de ce même numéro donnera sur-le-champ

$\varpi ={\frac {\Delta }{{\sqrt {\omega }}+{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\alpha '}}+{\sqrt {\alpha ''}}}},$

en faisant, pour abréger,

$\omega =\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''.$

Ensuite on aura (25) pour la détermination du centre de la sphère les coordonnées

${\begin{aligned}p=&{\frac {x{\sqrt {\alpha }}+x'{\sqrt {\alpha '}}+x''{\sqrt {\alpha ''}}}{{\sqrt {\omega }}+{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\alpha '}}+{\sqrt {\alpha ''}}}},\\q=&{\frac {y{\sqrt {\alpha }}+y'{\sqrt {\alpha '}}+y''{\sqrt {\alpha ''}}}{{\sqrt {\omega }}+{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\alpha '}}+{\sqrt {\alpha ''}}}},\\r=&{\frac {z{\sqrt {\alpha }}+z'{\sqrt {\alpha '}}+z''{\sqrt {\alpha ''}}}{{\sqrt {\omega }}+{\sqrt {\alpha }}+{\sqrt {\alpha '}}+{\sqrt {\alpha ''}}}}.\end{aligned}}$

Et, si l’on veut déterminer ce point par les distances ${\sqrt {f}},{\sqrt {g}},{\sqrt {g'}},{\sqrt {g''}}$