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$\zeta ''$ deviennent (1) $\alpha ,\beta '',\beta ',\beta '',\alpha ',\beta ,\beta ',\beta ,\alpha '',$ et la quantité

$\Delta =xy'z''+yz'x''+\ldots$

devient

$aa'a''+2bb'b''-ab^{2}-a'b'^{2}-a''b''^{2}=\Delta ^{2}\,;$

c’est pourquoi on aura, après avoir multiplié par $\Delta ,$

${\begin{aligned}\rho \,\ \ {\sqrt {\alpha }}\ \ =&{\frac {\alpha k+\beta ''k'+\beta 'k''}{\Delta }},\\\rho '\ {\sqrt {\alpha '}}\ =&{\frac {\beta ''k+\alpha 'k'+\beta k''}{\Delta }},\\\rho ''{\sqrt {\alpha ''}}=&{\frac {\beta 'k+\beta k'+\alpha ''k''}{\Delta }}.\end{aligned}}$

28. Les formules qu’on vient de trouver dans les numéros précédents peuvent servir à résoudre avec beaucoup de facilité le Problème, où il s’agirait de trouver dans l’intérieur d’une pyramide donnée un point tel, que menant de ce point aux quatre angles de la pyramide des lignes droites qui la partageassent en quatre autres pyramides ayant ce point pour sommet et les faces de la pyramide donnée pour bases, ces pyramides partielles fussent entre elles dans des rapports donnés.

Soient les rapports de ces quatre pyramides partielles à la pyramide totale donnée exprimés par les quantités $\mu ,\mu ',\mu ''$ et $\nu ,$ en sorte que l’on ait

$\mu +\mu '+\mu ''+\nu =1\,;$

donc, par ce que l’on a dit dans le n^o 24, on aura

$\rho {\sqrt {\alpha }}=\mu \Delta ,\quad \rho '{\sqrt {\alpha '}}=\mu '\Delta ,\quad \rho ''{\sqrt {\alpha ''}}=\mu ''\Delta ,$

$\varpi {\sqrt {\alpha +\alpha '+\alpha ''+2\beta +2\beta '+2\beta ''}}=\nu \Delta \,;$

donc, substituant ces valeurs dans les expressions des quantités $p,q,r$ du n^o 25, on aura sur-le-champ, pour la détermination du point cherché, ces trois coordonnées rectangles

${\begin{aligned}p=&\mu x+\mu 'x'+\mu ''x'',\\q=&\mu y+\mu 'y'+\mu ''y'',\\r=&\mu z+\mu 'z'+\mu ''z''.\end{aligned}}$