cultés qu’il renferme, je vais tâcher de la traiter plus à fond qu’on ne l’a encore fait ; mais je me bornerai pour le présent aux formules du second degré, et je commencerai par examiner quelle doit être la forme des diviseurs des nombres qui peuvent être exprimés par ces sortes de formules.
Théorème I.
4. Si le nombres
est un diviseur d’un nombre représenté par la formule
![{\displaystyle \mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88954c73958b3db2808098728cda72c31838cda4)
en supposant
et
premiers entre eux, je dis que ce nombre
sera nécessairement de la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {L} s^{2}+\mathrm {M} sx+\mathrm {N} x^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173db1338ae9399f6904f330ff53086876a1dcd4)
où l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {4LN-M^{2}=4BD-C^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffb332f1f81a1cff3098d4e082be9488e28c3048)
et
étant aussi premiers entre eux.
Car soit
le quotient de la division de
par
en sorte qu’on ait
![{\displaystyle \mathrm {A} a=\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57c92b803e46011bd2af4bb99d3ca696f42337a7)
et soit
la plus grande commune mesure entre
et
(si
et
sont premiers entre eux, on aura
) ; de manière qu’en faisant
![{\displaystyle a=bc,\quad u=bs,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70bf334b7ea25a3a38177b2baf238564f586b2ca)
et
soient premiers entre eux ; on aura donc
![{\displaystyle \mathrm {A} bc=\mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} bts+\mathrm {D} b^{2}s^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f285043c72b045fe13e9eb72e566694482255854)
par conséquent
sera divisible par
mais
et
étant premiers entre eux (hypothèse),
sera aussi premier à
qui est un diviseur de
donc il faudra que
soit divisible par
de sorte qu’on aura
et l’équatiou étant divisée par
elle deviendra
![{\displaystyle \mathrm {A} c=\mathrm {E} t^{2}+\mathrm {C} ts+\mathrm {D} bs^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d5f299632a77b1083e7c2b675d10a3277c5f6d)
Maintenant, puisque
et
sont premiers entre eux, on peut supposer (par l’Observation précédente)
![{\displaystyle t=\theta s+cx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4248ef59a978f8d59087f7ad441fa62bc2e03373)