ce qui, étant substitué, donnera
![{\displaystyle \mathrm {A} c=\left(\mathrm {E\theta ^{2}+C\theta +D} b\right)s^{2}+(2\mathrm {E} \theta c+\mathrm {C} c)sx+\mathrm {E} c^{2}x^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/837ac4d00db3271a0bee0d82cd7e23618fcc037e)
de sorte qu’il faudra que le nombre
soit divisible par
et comme
et
sont premiers entre eux, il faudra que
soit divisible par
donc divisant toute l’équation par
et faisant
![{\displaystyle \mathrm {L} ={\frac {\mathrm {E\theta ^{2}+C\theta +D} b}{c}},\quad \mathrm {M=2E\theta +C} ,\quad \mathrm {N=E} c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/931f35dcee543a8c406f87fdcd9d2136ed92d849)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {L} s^{2}+\mathrm {M} sx+\mathrm {N} x^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83020cdc4fb23b586010d5fa054783b29caddf05)
Or
sera égal à
![{\displaystyle 4\mathrm {E} \left(\mathrm {E\theta ^{2}+C\theta +D} b\right)-\left(\mathrm {2E\theta +C} \right)^{2}=4\mathrm {ED} b-\mathrm {C^{2}=4BD-C^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd896f220046d0745d9b404f2a51f129552c1e6)
à cause de
Donc, etc.
Maintenant, comme
et
sont premiers entre eux (hypothèse),
et
le seront aussi, à cause de
mais si
et
n’étaient pas premiers entre eux, il est clair que
devrait être divisible par leur plus grande commune mesure, à cause de
ce qui ne pouvant être, il s’ensuit que
et
seront nécessairement premiers entre eux si
et
le sont.
Théorème II.
5. Toute formule du second degré telle que celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {L} s^{2}+\mathrm {M} sx+\mathrm {N} x^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b5fbc3c36c8d004c633bc284fadf3c00926e5d4)
dans laquelle
est plus grand que
ou
(abstraction faite des signes de ces quantités), peut se transformer en une autre du même degré, comme
![{\displaystyle \mathrm {L} 's'^{2}+\mathrm {M} 's'x'+\mathrm {N} 'x'^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b4a373547cbcee71b37d86470d40e3699f62df)
dans laquelle on aura
![{\displaystyle \mathrm {4L'N'-M'^{2}=4LN-M^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b44ae05f5557030f6298a6db05309b09cab7875)
et où
sera plus petit que ![{\displaystyle \mathrm {M} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1688d03c31d091e6090c3c8e5e0f47a4c2802191)