9. Corollaire I. — Si
est un nombre positif, il faudra que
soit aussi positif ; donc, à cause que
ou
et
ou
il est clair que
sera aussi
ou
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {4PR-Q^{2}} =\ \ {\text{ou}}\ \ >3\mathrm {Q} ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24e46d7e09b59e51792e1c52d0d9407c71ca14b)
donc on aura aussi
![{\displaystyle \mathrm {4BD-C^{2}} =\ \ {\text{ou}}\ \ >3\mathrm {Q} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac445e41aa0582388a5b283633a4502bcaf146b9)
et de là
![{\displaystyle \mathrm {Q} =\ \ {\text{ou}}\ \ <{\sqrt {\frac {\mathrm {4BD-C^{2}} }{3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6513f13ba23b186a371caf2b5da4bd47294be57e)
10. Corollaire II. — Soit maintenant
un nombre négatif, en sorte que
soit positif ; on aura donc dans ce cas
ce qui, à cause que
n’est jamais plus grand que
ni plus grand que
ne peut avoir lieu à moins que
ne soit un nombre négatif ; ainsi
sera un nombre positif
ou
à cause de
ou
et
ou
de sorte que
sera
ou
et par conséquent
sera aussi
ou
donc il faudra que
![{\displaystyle \mathrm {Q} =\ \ {\text{ou}}\ \ <{\sqrt {\frac {\mathrm {C^{2}-4BD} }{5}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208da82c81495eacd92396628bb6d3b34bcdcdf1)
11. Corollaire III. — Donc, puisque
doit être un nombre entier, on ne pourra prendre pour
que les nombres entiers positifs ou négatifs qui ne surpasseront pas les limites trouvées, en comprenantaussi le zéro parmi les nombres entiers ; d’où l’on voit que
ne pourra jamais avoir qu’un certain nombre de valeurs différentes.
De plus, il est clair que pour que l’équation
![{\displaystyle \mathrm {4PR-Q^{2}=4BD-C^{2}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/217c49a16c76e689d57b9867c7554f35898a3281)
puisse subsister en nombres entiers, il faut que
soit pair ou impair, suivant que
sera pair ou impair, ce qui limite encore davantage le nombre des valeurs de ![{\displaystyle \mathrm {Q} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eafe3c7b1af943a7447f3915045d0bb6f3d5af84)
Connaissant
on trouvera facilement
et
par la même équation ;