ne saurait aller à l’infini, à cause que ces nombres doivent être tous entiers et décroissants de l’un à l’autre, il faudra nécessairement qu’on vprive à une transformée, que je représenterai ainsi
![{\displaystyle \mathrm {P} y^{2}+\mathrm {Q} yz+\mathrm {R} z^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b010419e1464f534ffc044cec685a9287a1d96d7)
dans laquelle
ne sera pas plus grand que
ni que
et où l’on aura
![{\displaystyle \mathrm {4PR-Q^{2}=4LN-M^{2}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/982f3f0c720a792e0e1d316e8b0b3e9a50d66fe0)
7. Corollaire II. — Si les nombres
et
de la formule proposée sont premiers entre eux, il est clair que les nombres
et
de la transformée seront aussi premiers entre eux ; car si ceux-ci ne l’étaient pas il faudrait, à cause de
et de
que
fût divisible par la plus grande commune mesure entre
et
Donc les nombres
et
de la seconde transformée seront aussi par la même raison premiers entre eux, et ainsi de suite ; d’où l’on peut conclure que les nombres
et
de la dernière transformée seront nécessairement premiers entre eux, si les nombres
et
le sont.
Théorème III.
8. Si
est un diviseur d’un nombre de la forme
![{\displaystyle \mathrm {B} t^{2}+\mathrm {C} tu+\mathrm {D} u^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88954c73958b3db2808098728cda72c31838cda4)
et
élant premiers entre eux, je dis que ce nombre
sera nécessairement de la forme
![{\displaystyle \mathrm {P} y^{2}+\mathrm {Q} yz+\mathrm {R} z^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b010419e1464f534ffc044cec685a9287a1d96d7)
et
étant aussi premiers entre eux, et
étant tels, qu’on ait
![{\displaystyle \mathrm {4PR-Q^{2}=4BD-C^{2}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8862a7ddd1ec1d098681f064818a728075d59d06)
et de plus
n’étant ni plus grand que
ni plus grand que
abstraction faite des signes de
et ![{\displaystyle \mathrm {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be30d6add602e05f39858715ffff7116c759c1fc)
La démonstration de ce Théorème suit naturellement des deux Théorèmes hrécédents et de leurs Corollaires.