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qui est la même que celle de la formule $t^{2}+au^{2}.$ D’où il s’ensuit que tout diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}$ sera aussi nécessairement de la même forme si $p$ n’a d’autres valeurs que l’unité, ou le deviendra étant multiplié par une des valeurs de $p$ s’il y en a plusieurs. On prouvera de même que les formules

$py^{2}\pm 2qyz-rz^{2},\quad -py^{2}\pm 2qyz+rz^{2}$

étant multipliées par $p$ deviendront, à cause de $pr=a-q^{2},$

$(py\pm qz)^{2}-az^{2},\quad -(py\pm qz)^{2}+az^{2}.$

De sorte que tout diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2}$ ou $au^{2}-t^{2}$ sera nécessairement de l’une ou de l’autre de ces deux formes si $p$ n’est que l’unité, ou bien le deviendra toujours étant multiplié par une des valeurs de $p$ s’il y en a plus d’une.

théorèmes sur les diviseurs des nombres de la forme $t^{2}+au^{2},$
$t$ et $u$ étant supposés premiers entre eux.

18. I. Soit $a=1,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {1}{3}}}$ donc $q=0,\ pr=1\,;$ donc

$p=1,\quad r=1.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+u^{2}$

sont nécessairement renfermés dans la formule

$y^{2}+z^{2}\,;$

c’est-à-dire que : Tout diviseur d’un nombre égal la somme de deux carrés est aussi la somme de deux carrés.

II. Soit $a=2,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {2}{3}}}\,;$ donc $q=0,\ pr=2,$ donc

$p=1,\quad r=2.$