Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/709

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+2u^{2}$

sont renfermés dans la formule

$y^{2}+2z^{2}\,;$

c’est-à-dire que : Tout diviseur d’un nombre égal à la somme d’un carré et d’un double carré est aussi la somme d’un carré et d’un double carré.

III. Soit $a=3,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {3}{3}}}=1\,;$ donc $q=0$ ou $=1$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=3,$ donc

$p=1,\quad r=3\,;$

ensuite faisant $q=1,$ on aura

$pr=3+1=4\,;$

donc, comme ni $p$ ni $r$ ne doivent être $<2q,$ on aura

$p=2,\quad r=2.$

Donc les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}+3u^{2}$

seront renfermés dans ces deux formules

$y^{2}+3z^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz+2z^{2}.$

Or comme la seconde de ces formules ne peut appartenir qu’à des nombres pairs, étant toute divisible par $2,$ il s’ensuit que tout diviseur impair de

$t^{2}+3u^{2}$

sera nécessairement renfermé dans la formule

$y^{2}+3z^{2}\,;$

c’est-à-dire que : Tout diviseur impair d’un nombre qui est la somme d’un