Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/72

savoir, en élevant les deux membrés à la puissance $m,$

${\frac {a^{n}c^{m}}{b^{m+n}}}=\quad {\text{ou}}\quad <{\frac {m^{m}n^{n}}{(m+n)^{m+n}}},$

et que la seconde sera bonne lorsqu’on aura

${\frac {a^{n}c^{m}}{b^{m+n}}}=\quad {\text{ou}}\quad >{\frac {m^{m}n^{n}}{(m+n)^{m+n}}},$

de sorte que, dans le premier cas, l’équation aura autant de racines réelles et autant d’imaginaires qu’il y en aura de telles dans les deux équations

$a-bx^{m}=0\quad {\text{et}}\quad b-cx^{n}=0,$

et que, dans le second, le nombre des racines réelles et dés imaginaires sera le même (33) que dans l’équation

$a+cx^{m+n}=0.$

45. Si l’on avait

${\frac {a^{n}c^{m}}{b^{m+n}}}={\frac {m^{m}n^{n}}{(m+n)^{m+n}}},$

alors les deux conditions seraient les mêmes ; de sorte qu’il faudrait dire que l’équation aurait dans ce cas autant de racines réelles et autant d’imaginaires qu’il y en aurait de telles dans les équations

$a-bx^{m}=0\quad {\text{et}}\quad b-cx^{n}=0,$

et dans l’équation

$a+cx^{m+n}=0\,;$

donc, s’il arrive que le nombre des racines imaginaires de ces deux équations-là soit difl\delta rent de celui de cette équation-ci, il s’ensuivra qu’il y aura dans la proposée autant de racines égales qu’il y aura plus de racines imaginaires d’un côté que de l’autre ; car les racines égales étant les limites entre les racines réelles et les imaginaires, peuvent être regardées en quelque sorte comme appartenant aux unes ou aux autres.