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XI. Soit $a=11,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {11}{5}}}\,;$ donc $q=0$ ou $q=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=11\,;$ donc

$p=1,\quad r=11\,;$

faisant $q=1,$ on a $pr=10\,;$ donc

$p=2,\quad r=5.$

De sorte que les formules des diviseurs seront, dans ce cas,

$y^{2}-11z^{2},\quad 11z^{2}-y^{2},\quad 2y^{2}\pm 2yz-5z^{2},\quad 5z^{2}\pm 2yz-2y^{2}.$

Mais je remarque que ces deux dernières formules peuvent se réduire aux deux premières ; car en faisant

$\pm y=y'+4z',\quad z=y'+3z'$

(ce qui donne $z'=\pm y-z$ et $y'=4z\mp 3y,$ et par conséquent toujours des nombres entiers pour $y'$ et $z'$), la formule

$2y^{2}\pm 2yz-5z^{2}$

devient

$11z'^{2}-y'^{2},$

et la formule

$5z^{2}\mp 2yz-2y^{2}$

devient de même

$y'^{2}-11z'^{2}.$

D’où il s’ensuit que les diviseurs des nombres de la forme

$t^{2}-11u^{2},\quad 11u^{2}-t^{2}$

sont toujours de l’une ou de l’autre de ces formes

$y^{2}-11z^{2},\quad 11z^{2}-y^{2}.$

XII. Soit $a=12,$ donc $q$ non plus grand que ${\sqrt {\frac {12}{5}}}\,;$ donc $q=0$ ou $=1.$ Faisant $q=0,$ on aura $pr=12\,;$ donc

$p=1,\quad r=12,\quad {\text{ou}}\quad p=3,\quad r=4,$