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générale par laquelle on pût reconnaître facilement les formules qui sont identiques entre elles : c’est ce que nous allons examiner, avec toute la généralité dont la matière est susceptible ; et comme il n’est pas démontré jusqu’ici que cette identité de formules ne puisse avoir lieu dans les diviseurs des nombres de la forme $t^{2}+au^{2},$ quoique les différents cas du n^o 18 n’en fournissent aucun exemple, pour ne rien laisser à désirer sur ce sujet, nous considérerons également les formules de l’une et de l’autre espèce.

Problème III.

22. Étant donnée la formule

$py^{2}+2qyz+rz^{2},$

dans laquelle $y$ et $z$ sont des nombres indéterminés et $p,q,r$ sont des nombres positifs ou négatifs, déterminés par ces conditions, que

$pr-q^{2}=a$

($a$ étant un nombre positif donné) et que $2q$ ne soit ni $>p$ ni $>r,$ absfraction faite des signes de $p,q$ et $r\,;$ trouver si cette formule peut se transformer en une autre de la même espèce et qui soit assujettie aux même conditions.

Comme la transformée doit être analogue à la proposée, il est visible qu’on ne saurait employer d’autres substitutions que celles-ci

$y=\mathrm {M} s+\mathrm {N} x,\quad z=ms+nx,$

$s$ et $x$ étant deux nouvelles indéterminées, et $\mathrm {M,N} ,m,n$ des nombres arbitraires. En effet ces substitutions donneront une transformée de cette forme

$\mathrm {P} s^{2}+2\mathrm {Q} sx+\mathrm {R} x^{2},$

dans laquelle on aura

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&p\mathrm {M} ^{2}+2q\mathrm {M} m+rm^{2},\\\mathrm {Q} =&p\mathrm {MN} +q(\mathrm {M} n+\mathrm {N} m)+rmn,\\\mathrm {R} =&p\mathrm {N} ^{2}+2q\mathrm {N} n+rn^{2},\end{aligned}}$