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en sorte que $\mathrm {Q} ''$ sera $>\mathrm {P} '$ et $<\mathrm {R} ',$ abstraction faite des signes de $\mathrm {P',R'}$ et $\mathrm {Q} ''.$

On pourra trouver de même une troisième transformée telle que

$\mathrm {P} ''s'^{2}+2\mathrm {Q} ''s'x''+\mathrm {R} 'x''^{2},$

laquelle sera soumise aux mêmes conditions que les transformées précédentes, et ainsi de suite.

Je considère maintenant que comme les nombres

$\mathrm {M,N,M',N'} ,\ldots$

forment (abstraction faite de leurs signes) une suite décroissante, on arrivera nécessairement à un terme qui sera égal à zéro. Supposons que $\mathrm {N} '$ soit ce terme, en sorte que l’on ait $\mathrm {N} '=0\,;$ donc à cause de

$\mathrm {M} 'n'-\mathrm {N} 'm'=\pm 1$

on aura

$\mathrm {M} 'n'=\pm 1\,;$

donc

$\mathrm {M} '=\pm 1\quad {\text{et}}\quad n'=\pm 1,$

donc

$\mathrm {P} '=p\pm 2qm'+rm'^{2},\quad \mathrm {Q} ''=\pm q\pm rm',\quad \mathrm {R} '=r,$

les signes ambigus étant arbitraires.

Or il faut :

1^o Que l’on ait $\mathrm {Q''<R'} ,$ abstraction faite des signes de ces nombres ; mais $\mathrm {R} '=r$ et $q<r,$ à cause de $2q$ non plus grand que $r$ (hypothèse), donc $\mathrm {Q} ''$ ne pourra être $<\mathrm {R} ',\ <r$ à moins que $m'$ ne soit égal à zéro ou égal à $\pm 1.$

2^o Que $\mathrm {Q} ''$ soit en même temps $>\mathrm {P} '\,;$ or si $m'=0,$ on a

$\mathrm {Q} ''=\pm q,\quad \mathrm {P} '=p\,;$

de sorte qu’à cause de $2q$ non plus grand que $p$ (hypothèse), $\mathrm {Q} ''$ sera toujours $<\mathrm {P} '$ au lieu d’être plus grand ; si $m'=\pm 1,$ on aura

$\mathrm {P} '=p\pm 2q+r,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Q} ''=q\pm r\,;$