Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 3.djvu/729

mais on suppose que $\mathrm {Q} ''$ soit $<r\,;$ donc, pour que $\mathrm {Q} ''$ soit $>\mathrm {P} ',$ il faudrait que $r$ pût être $>p\pm 2q+r,$ ce qui ne se peut à cause que $2q$ n’est jamais $>p,$ et que d’ailleurs $p$ et $r$ doivent être de mêmes signes en vertu de l’équation

$pr-q^{2}=$ un nombre positif.

De là je conclus qu’il est impossible que la formule proposée soit transformée en une autre où les conditions énoncées aient lieu ; de sorte que si l’on a plusieurs formules où les mêmes conditions soient observées, on peut être assuré que ces formules sont essentiellement diflérentes entre elles, et qu’elles ne peuvent pas se réduire à un plus petit nombre.

Problème IV.

23. Étant donnée la formule

$py^{2}+2qyz-rz^{2},$

dans laquelle $y$ et $z$ sont des nombres indéterminés, et $p,q,r$ des nombres positifs ou négatifs, déterminés par ces conditions, que

$pr+q^{2}=a$

($a$ étant un nombre positif donné) et que $2q$ ne soit ni $>p$ ni $>r,$ abstraction faite des signes de $p,q$ et $r\,;$ trouver si cette formule peut se transformer en une autre semblable, et où les mêmes conditions soient observées.

Faisant, comme dans le Problème précédent et par la même raison,

$y=\mathrm {M} s+\mathrm {N} x,\quad z=ms+nx,$

on aura la transformée

$\mathrm {P} s^{2}+2\mathrm {Q} sx-\mathrm {R} x^{2},$

dans laquelle

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&p\mathrm {M} ^{2}+2q\mathrm {M} m-rm^{2},\\\mathrm {Q} =&p\mathrm {MN} +q(\mathrm {M} n+\mathrm {N} m)-rmn,\\\mathrm {R} =&rn^{2}-2q\mathrm {N} n-p\mathrm {N} ^{2}\,;\end{aligned}}$