mais on suppose que
soit
donc, pour que
soit
il faudrait que
pût être
ce qui ne se peut à cause que
n’est jamais
et que d’ailleurs
et
doivent être de mêmes signes en vertu de l’équation
![{\displaystyle pr-q^{2}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c073f3b438365014d8d53d5768ad5d0511f303c6)
un nombre positif.
De là je conclus qu’il est impossible que la formule proposée soit transformée en une autre où les conditions énoncées aient lieu ; de sorte que si l’on a plusieurs formules où les mêmes conditions soient observées, on peut être assuré que ces formules sont essentiellement diflérentes entre elles, et qu’elles ne peuvent pas se réduire à un plus petit nombre.
Problème IV.
23. Étant donnée la formule
![{\displaystyle py^{2}+2qyz-rz^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690b90c5cc811bf87a9fe3edeb7054705b9f5af4)
dans laquelle
et
sont des nombres indéterminés, et
des nombres positifs ou négatifs, déterminés par ces conditions, que
![{\displaystyle pr+q^{2}=a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e8ac79d3f2db67455036ce04dcd380b3780351)
(
étant un nombre positif donné) et que
ne soit ni
ni
abstraction faite des signes de
et
trouver si cette formule peut se transformer en une autre semblable, et où les mêmes conditions soient observées.
Faisant, comme dans le Problème précédent et par la même raison,
![{\displaystyle y=\mathrm {M} s+\mathrm {N} x,\quad z=ms+nx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a7fb75b1f10d6f7f90b4d00d02aa36cf67b75d5)
on aura la transformée
![{\displaystyle \mathrm {P} s^{2}+2\mathrm {Q} sx-\mathrm {R} x^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a9b1387546ca38428b6be029319bc7c351b869)
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} =&p\mathrm {M} ^{2}+2q\mathrm {M} m-rm^{2},\\\mathrm {Q} =&p\mathrm {MN} +q(\mathrm {M} n+\mathrm {N} m)-rmn,\\\mathrm {R} =&rn^{2}-2q\mathrm {N} n-p\mathrm {N} ^{2}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e50546ace106480290e37ebd74fafbc6f58530)