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Or, si l’on veut de plus que $2\mathrm {Q}$ ne soit ni plus grand que $\mathrm {P}$ ni plus grand que $\mathrm {R} ,$ comme les conditions du Problème l’exigent, il faudra d’abord déterminer $\mu$ en sorte que $\mathrm {Q=Q'-\mu R}$ ne soit pas plus grand que ${\frac {\mathrm {R} }{2}},$ abstraction faite des signes de $\mathrm {Q}$ et $\mathrm {R} \,;$ et il est clair que prenant pour $\mu$ un nombre entier positif, il n’y aura qu’une seule valeur de $\mu$ qui puisse satisfaire à cette condition ; de sorte que le nombre $\mu$ sera par ce moyen entièrement déterminé. Ainsi il ne restera plus qu’à voir si $\mathrm {Q}$ est aussi $<{\frac {\mathrm {P} }{2}}\,;$ auquel cas la transformée

$\mathrm {P} s^{2}+2\mathrm {Q} sx-\mathrm {R} x^{2}$

aura les conditions requises.

On voit par là comment on peut résoudre la question proposée sans aucun tâtonnement, et voici la méthode qu’il faut suivre pour cet objet.

méthode pour transformer la formule $py^{2}+2qyz-rz^{2},$ dans laquelle on a $pr+q^{2}=a$ ($a$ étant nombre entier positif donné) et où $2q$ n’est ni $>p$ ni $>r$ (abstraction faite des signes de $p,q,r$), en d’autres formules semblables assujetties aux mêmes conditions.

24. Nous changerons d’abord, pour mieux conserver l’analogie dans nos formules, les lettres $z$ et $p$ en $y'$ et $r'\,;$ de sorte que notre formule deviendra

$r'y^{2}+2qyy'-ry'^{2},$

où

$rr'+q^{2}=a\quad {\text{et}}\quad q\ {\text{non}}>{\frac {r}{2}}\ {\text{ni}}>{\frac {r'}{2}}.$

Maintenant, comme $r$ et $r'$ doivent être de mêmes signes en vertu de l’équation $r'r+q^{2}=a,$ nous les supposerons d’abord tous les deux positifs mais $q$ pourra être positif ou négatif, et devra même être pris successivement en plus et en moins.