On trouvera de même, pour le cas de
négatif,
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}m'<&{\frac {{\sqrt {a}}-q}{-r}},\qquad &m'>{\frac {{\sqrt {a}}-q}{-r}}-1,\\\mu '<&{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a32709637981498816b22e2c46f5beff38a0ad0b)
D’où l’on voit que le nombre
devant être entier, sera nécessairement déterminé, puisque les deux limites entre lesquelles il doit se trouver ne diffèrent que de l’unité.
Enfin on substituera
à la place de
et l’on aura la troisième transformée dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {Q=Q'-R} \mu ,\\&\mathrm {R=P'+2Q'\mu -R\mu ^{2}} ={\frac {a-\mathrm {Q} ^{2}}{\mathrm {R} }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8ab1746a2334cf0c7cb40693a603c128b1d791)
Et, en faisant attention que
![{\displaystyle \mathrm {P} =-\mathrm {R} \left(\mu +{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} '}{\mathrm {R} }}\right)\left(\mu -{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} '}{\mathrm {R} }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9088905b4b5eb8ed7d75983bec2faf8723b0b7f)
(à cause de
), on prouvera comme ci-dessus que, dans le cas de
positif, on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mu '<&{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}},\qquad &\mu '>{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}-1,\\\mu <&{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} '}{\mathrm {R} }},\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c034ad599f6220093f196aae2e1c05ecbb617ff4)
et dans le cas de
négatif
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mu '<&{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}},\qquad &\mu '>{\frac {{\sqrt {a}}+\mathrm {Q} ''}{\mathrm {P} '}}-1,\\\mu <&{\frac {{\sqrt {a}}-\mathrm {Q} '}{\mathrm {R} }}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7a2884f9bb27930d10f2933e2ee07e6007676d)
De sorte que le nombre
sera aussi déterminé, et qu’il n’y aura d’indéterminé que le nombre ![{\displaystyle \mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1ef6db045c1f6193799bd25a4b68ba9f78646d2)