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On aura donc, en prenant un coefficient quelconque, $\lambda ,$

${\begin{aligned}\mu =&\lambda \mathrm {A} \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a},\\\nu =&\lambda \mathrm {B} \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b},\\\pi =&\lambda \mathrm {C} \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

donc, substituant ces valeurs dans les équations

$\mu +\nu +\pi +\ldots =1,\quad \mu a+\nu b+\pi c+\ldots =\upsilon ,$

on aura

${\begin{aligned}&\lambda \left[\ \mathrm {A} \ \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}+\ \mathrm {B} \ \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b}+\,\mathrm {C} \ \left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c}+\ldots \right]=1,\\&\lambda \left[\mathrm {A} a\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}+\mathrm {B} b\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b}+\mathrm {C} c\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c}+\ldots \right]=\upsilon ,\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en chassant $\lambda ,$

$\mathrm {A} (a-\upsilon )\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}+\mathrm {B} (b-\upsilon )\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b}+\mathrm {C} (c-\upsilon )\left({\frac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c}+\ldots =0,$

équation par laquelle on déterminera $\upsilon ,$ après quoi on aura

$\lambda ={\frac {1}{\mathrm {A} \left({\dfrac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{a}+\mathrm {B} \left({\dfrac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{b}+\mathrm {C} \left({\dfrac {\alpha \upsilon }{\upsilon -1}}\right)^{c}+\ldots }},$

et ensuite $\mu ,\nu ,\pi ,\ldots$ par les formules précédentes.

Ainsi l’on pourra toujours, par ce moyen, juger de la convergence ou de la divergence de chaque série.