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$a^{2n}-1$ sera divisible par $p\,;$ donc aussi, changeant $a$ en $-a,$ $(-a)^{2n}-1$ sera divisible par $p\,;$ c’est-à-dire que

$(-a)^{\frac {p-1}{2}}-1$

sera divisible par $p\,;$ par conséquent, par la seconde partie du Lemme précédent, $p$ sera un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}.$

De même, en changeant $a$ en $-a$ on prouvera que si $p$ est un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2},$ il le sera aussi d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2}\,;$ par conséquent, si $p$ ne peut être un diviseur de $t^{2}-au^{2},$ il ne pourra l’être non plus d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}.$

Lemme V.

41. Si $p$ est de la forme $4n-1,$ et que ce nombre soit un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2},$ il ne pourra jamais l’être d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}.$

Et réciproquement si $p$ ne peut être un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-au^{2},$ il le sera nécessairement d’un nombre de la forme $t^{2}+au^{2}.$

Car $p$ étant un diviseur de $t^{2}-au^{2},$ il faudra que l’on ait $a^{\frac {p-1}{2}}-1,$ savoir $a^{2n-1}-1$ divisible par $p$ (Lemme III) ; de même, pour que $t^{2}+au^{2}$ fût divisible par $p,$ il faudrait que l’on eût, en changeant $a$ en $-a,$ $(-a)^{2n-1}-1$ divisible par $p,$ c’est-à-dire (à cause que l’exposant $2n-1$ est impair) que $a^{2n-1}+1$ fût aussi divisible par $p\,;$ ce qui ne se peut.

Si $p$ ne peut être un diviseur de $t^{2}-au^{2},$ alors $a^{\frac {p-1}{2}}-1$ ne sera pas divisible par $p$ (Lemme III). Or $a^{p-1}-1$ est toujours nécessairement divisible par $p$ (Lemme I) ; mais

$a^{p-1}-1=\left(a^{\frac {p-1}{2}}-1\right)\left(a^{\frac {p-1}{2}}+1\right)\,;$

donc puisque $p$ est premier et que $a^{\frac {p-1}{2}}-1$ n’est pas divisible par $p,$ il