sera divisible par
donc aussi, changeant
en
sera divisible par
c’est-à-dire que
![{\displaystyle (-a)^{\frac {p-1}{2}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb090e716bc3f583a28ebe05812d397aa698d1a0)
sera divisible par
par conséquent, par la seconde partie du Lemme précédent,
sera un diviseur d’un nombre de la forme ![{\displaystyle t^{2}+au^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06471b851afe80af8a87575ffb8c929226a59ff5)
De même, en changeant
en
on prouvera que si
est un diviseur d’un nombre de la forme
il le sera aussi d’un nombre de la forme
par conséquent, si
ne peut être un diviseur de
il ne pourra l’être non plus d’un nombre de la forme
Lemme V.
41. Si
est de la forme
et que ce nombre soit un diviseur d’un nombre de la forme
il ne pourra jamais l’être d’un nombre de la forme
Et réciproquement si
ne peut être un diviseur d’un nombre de la forme
il le sera nécessairement d’un nombre de la forme
Car
étant un diviseur de
il faudra que l’on ait
savoir
divisible par
(Lemme III) ; de même, pour que
fût divisible par
il faudrait que l’on eût, en changeant
en
divisible par
c’est-à-dire (à cause que l’exposant
est impair) que
fût aussi divisible par
ce qui ne se peut.
Si
ne peut être un diviseur de
alors
ne sera pas divisible par
(Lemme III). Or
est toujours nécessairement divisible par
(Lemme I) ; mais
![{\displaystyle a^{p-1}-1=\left(a^{\frac {p-1}{2}}-1\right)\left(a^{\frac {p-1}{2}}+1\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b79dd44a864c629796a07ee99bcdf78e987106)
donc puisque
est premier et que
n’est pas divisible par
il