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ainsi $x^{2na}+1$ pourra être divisible par $4na+1,$ lorsque c’est un nombre premier. Faisons $x^{n}=r,$ et l’on aura le binôme $r^{2a}+1$ qui pourra être divisible par $4na+1\,;$ faisons de plus $r^{2}+1=s,$ et le binôme $r^{2a}+1$ pourra se réduire à cette forme

$s^{a}-as^{a-2}r^{2}+{\frac {a(a-3)}{2}}s^{a-4}r^{4}-{\frac {a(a-4)(a-5)}{2.3}}s^{a-6}r^{6}$

$+{\frac {a(a-5)(a-6)(a-7)}{2.3.4}}s^{a-8}r^{8}-\ldots ,$

quantité que nous appellerons $\mathrm {R}$ pour plus de simplicité. Ainsi tout nombre premier de la forme $4na+1$ pourra être un diviseur du polynôme $\mathrm {R} ,$ ou même d’un facteur quelconque entier et rationnel de ce polynôme. Il faut seulement remarquer, à l’égard de la série qui représente ce polynôme, qu’elle ne doit être poussée que jusqu’aux termes exclusivement qui contiendraient des puissances négatives de $s\,;$ c’est de quoi il est facile de se convaincre par la nature même de cette série, laquelle, en y substituant $r^{2}+1$ à la place de $s,$ doit se réduire à $r^{2a+1}.$

Cela posé, soit d’abord $a=1\,;$ on aura

$\mathrm {R} =s=r^{2}+1\,;$

donc tout nombre premier de la forme $4n+1$ pourra être un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}+u^{2}\,;$ donc (18) :

1^o Tout nombre premier de la forme $4n+1$ est aussi de la forme $y^{2}+z^{2}.$

Soit ensuite $a=2,$ on aura

$\mathrm {R} =s^{2}-r^{2}\,;$

d’où il s’ensuit que tout nombre premier de la forme $8n+1$ peut être un diviseur d’un nombre de la forme $t^{2}-2u^{2},$ et par conséquent aussi d’un nombre de la forme $t^{2}+2u^{2}$ (Lemme IV) ; donc (18 et 20) :

2^o Tout nombre premier de la forme $8n+1$ est en même temps de ces trois formes $y^{2}+2z^{2},\ y^{2}-2z^{2}$ et $2z^{2}-y^{2}.$