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où l’on remarquera qu’en faisant $\varphi =0,$ on aura

$\int \sin \varphi ds=0,\quad \int \cos \varphi ds=0,$

et par conséquent aussi

${\frac {d\varphi }{ds}}=0.$

Différentions maintenant cette équation en prenant $ds$ constant, et l’on aura celle-ci

$\mathrm {P} \sin \varphi +\mathrm {Q} \cos \varphi ={\frac {2\mathrm {K} ^{2}d^{2}\varphi }{ds^{2}}},$

laquelle, étant multipliée par $d\varphi$ et ensuite intégrée, donnera

$\mathrm {C} -\mathrm {P} \cos \varphi +\mathrm {Q} \sin \varphi ={\frac {\mathrm {K} ^{2}d\varphi ^{2}}{ds^{2}}},$

$\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire qu’on déterminera par la condition qu’en faisant $\varphi =0,$ on ait ${\frac {d\varphi }{ds}}=0\,;$ c’est pourquoi on aura

$\mathrm {C=P} .$

On aura donc

$ds={\frac {\mathrm {K} d\varphi }{\mathrm {\sqrt {P-P\cos \varphi +Q\sin \varphi }} }},$

et de là

${\begin{aligned}dy=&{\frac {\mathrm {K} \sin \varphi d\varphi }{\mathrm {\sqrt {P-P\cos \varphi +Q\sin \varphi }} }},\\dx=&{\frac {\mathrm {K} \cos \varphi d\varphi }{\mathrm {\sqrt {P-P\cos \varphi +Q\sin \varphi }} }},\end{aligned}}$

Maintenant, si l’on pouvait intégrer ces trois équations, il est évident qu’en faisant, après l’intégration, $s=l,$ $x=a,$ $y=b$ et $\varphi =m,$ on aurait trois équations par lesquelles on pourrait déterminer les forces $\mathrm {P,Q}$ et l’amplitude $m,$ les quantités $l,a$ et $b$ étant données, et le Problème serait résolu ; mais il est aisé de voir que l’intégration dont il s’agit dépend en général de la rectification des sections coniques, et qu’ainsi elle échappe à toutes les méthodes connues.

Il y a cependant un cas où l’intégration réussit, c’est celui où $\mathrm {Q} =0\,;$ nous allons l’examiner dans le paragraphe suivant.