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§ VI.

Puisque nous avons supposé $q$ très-petit, les deux forces $\mathrm {R}$ et $\mathrm {T}$ (§ IV) deviendront $\mathrm {R} =p$ et $\mathrm {T} =pq,$ c’est-à-dire

\mathrm {R} =-{\frac {2\mathrm {K} ^{2}\omega ^{2}}{l^{2}}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {T} =-{\frac {2\mathrm {K} ^{2}\omega ^{2}}{l^{2}}}q\,;

ainsi l’on connaîtra les deux forces $\mathrm {T}$ et $\mathrm {R}$ pour chaque angle.

Supposons que la force perpendiculaire $\mathrm {T}$ soit nulle ; il faudra donc que $q=0\,;$ donc aussi $\sin \omega =0,$ pourvu que $\omega$ ne soit pas égal à zéro ; autrement le dénominateur $\omega \cos \omega -\sin \omega$ le deviendrait aussi ; donc on aura $\omega =\mu \pi ,$ $\pi$ étant l’angle de $180$ degrés et $\mu$ un nombre quelconque entier positif ou négatif excepté zéro. Donc on aura, dans ce cas,

\mathrm {R} =-{\frac {2\mathrm {K} ^{2}\mu ^{2}\pi ^{2}}{l^{2}}}\,;

d’où il s’ensuit que si le ressort n’est tendu que par une seule force $\mathrm {AR}$ qui agisse dans la direction de la corde $\mathrm {AC} ,$ il faudra que cette force soit dirigée de $\mathrm {A}$ vers $\mathrm {C} ,$ et qu’elle ne soit pas moindre que ${\frac {2\mathrm {K} ^{2}\mu ^{2}\pi ^{2}}{l^{2}}},$ c’est-à-dire moindre que ${\frac {2\mathrm {K} ^{2}\pi ^{2}}{l^{2}}},$ pour qu’elle puisse produire dans le ressort une très-petite courbure quelconque ; et toute force qui sera moindre que ${\frac {2\mathrm {K} ^{2}\pi ^{2}}{l^{2}}}$ ne produira absolument aucun effet dans la lame élastique. M. Euler a déjà fait cette curieuse remarque, et il en déduit des conséquences relatives à la force des colonnes dans un excellent Mémoire sur ce sujet, auquel nous nous contenterons ici de renvoyer. (Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, t. XIII, année 1757.)

Or, puisqu’en faisant $\omega =\pi$ la force $\mathrm {T}$ disparaît, supposons $\omega =\pi -t,$ $t$ étant un angle fort petit, et l’on aura

\sin \omega =\sin t=t,\quad \cos \omega =-\cos t=-1+{\frac {t^{2}}{2}}\,;