21. Puis donc que de cette manière la solution du Problème est réduite uniquement à la recherche des angles
et
il est bon de considérer plus particulièrement les équations différentielles d’où ces angles dépendent ; ces équations sont (3)
![{\displaystyle {\frac {d\cos \xi }{dt}}=q\sin \omega \sin \psi \sin z,\quad {\frac {d\cos \psi }{dt}}=-p\sin \omega \sin \xi \sin s\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8906efc3cab0bcfe8a7d1356296876d8f2c5fd5c)
or on a (5)
![{\displaystyle \cos s={\frac {\cos \omega \cos \xi -\cos \psi }{\sin \omega \sin \xi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d392008bb4600f3ed7b322732cd5aeaa212b8b14)
et l’on aura pareillement
![{\displaystyle \cos z={\frac {-\cos \omega \cos \psi +\cos \xi }{\sin \omega \sin \psi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a667e4818949f39aff6eff0e74177875642e2f6)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin s=&{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\omega -\cos ^{2}\xi -\cos ^{2}\psi +2\cos \omega \cos \xi \cos \psi }}{\sin \omega \sin \xi }},\\\sin z=&{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\omega -\cos ^{2}\xi -\cos ^{2}\psi +2\cos \omega \cos \xi \cos \psi }}{\sin \omega \sin \psi }}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92120c02ff6869949148ba65e6017010504a529c)
Donc, si l’on substitue ces valeurs dans les équations précédentes, et qu’on fasse, pour abréger,
![{\displaystyle \cos \xi =x,\quad -\cos \psi =y,\quad \cos \omega =a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed79bfe972dd1ce7f35cc8194f789acb9280dc2c)
on aura ces deux-ci
![{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=q{\sqrt {1-a^{2}-x^{2}-y^{2}-2axy}},\quad {\frac {dy}{dt}}=p{\sqrt {1-a^{2}-x^{2}-y^{2}-2axy}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e4a523f1ce67ad9ffb4e2e06a15b864c57d0055)
Soit encore
![{\displaystyle {\sqrt {1-a^{2}-x^{2}-y^{2}-2axy}}=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d2df258d3a285f00f7643af849a15374276d9e)
on aura
![{\displaystyle dx=qudt,\quad dy=pudt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b15c0e9d0639e94075066136b6fa9ce43d7e478a)
![{\displaystyle udu=-xdx-ydy-a(xdy+ydx)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16679f93bd8553936823ea5e8900c986fba61b31)