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substituant dans cette dernière équation les valeurs précédentes de $dx$ et $dy,$ et divisant ensuite par $u,$ elle deviendra

$du=-(q+ap)xdt-(p+aq)ydt\,;$

cette équation, étant différentié de nouveau en prenant $dt$ pour constant, deviendra, après la substitution des valeurs de $dx$ et $dy,$

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+n^{2}u=0$

où

$n^{2}=p^{2}+2apq+q^{2}.$

De là on aura sur-le-champ

$u=\mathrm {A} \sin(nt+\alpha )\,;$

ensuile on trouvera

$x=\mathrm {B} -{\frac {q\mathrm {A} }{n}}\cos(nt+\alpha ),\quad y=\mathrm {C} -{\frac {p\mathrm {A} }{n}}\cos(nt+\alpha ),$

et il n’y aura plus qu’à déterminer convenablement les constantes, $\mathrm {A,B,C} .$

22. En général si l’on a un triangle sphérique $\mathrm {ABC}$ (fig. 4) dont les

triangle sphérique

angles $\mathrm {A,B,C}$ soient nommés $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ et que le côté $\mathrm {BC}$ opposé à l’angle soit $\mathrm {A} ,$ on aura

$\cos \alpha =\sin \beta \sin \gamma \cos \mathrm {A} -\cos \beta \cos \gamma \,;$

donc, si l’on imagine que le côté $\mathrm {BC}$ croisse de la quantité $adt,$ les angles