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dont on trouve que l’intégrale complète est

$y-a(x-b)={\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}},$

$a$ étant la constante arbitraire.

Faisant done varier $y$ et $a,$ on aura

${\frac {dy}{da}}=x-b+{\frac {c^{2}a}{\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}}}.$

donc

$x-b+{\frac {c^{2}a}{\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}}}=0,$

par conséquent

$x-b=-{\frac {c^{2}a}{\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}}}=0,$

et combinant cette équation avec la précédente, on aura

$y={\frac {c^{2}-b^{2}}{\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}}},$

de sorte qu’on aura, en éliminant $a,$

${\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{c^{2}-b^{2}}}=1,$

intégrale particulière de la proposée, et qui n’est point comprise dans l’intégrale complète.

Si l’on fait varier $x$ et $a,$ on aura

${\frac {dx}{da}}=-{\frac {x-b}{a}}-{\frac {c^{2}}{\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}}},$

et l’équation ${\frac {dx}{da}}$ redonnera le même résultat que nous venons de trouver d’après l’équation ${\frac {dy}{da}}=0.$ Ainsi la proposée n’admet point d’autre intégrale particulière que la précédente. Voyez au reste, sur l’intégration de ces deux équations, les n^os 17 et 19 ci-après.