dont on trouve que l’intégrale complète est
![{\displaystyle y-a(x-b)={\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334ec559ae152759931558cacccbed438c875eb3)
étant la constante arbitraire.
Faisant done varier
et
on aura
![{\displaystyle {\frac {dy}{da}}=x-b+{\frac {c^{2}a}{\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/675a0c9553c6c6540c379aef3bdb349cba7a9bb6)
donc
![{\displaystyle x-b+{\frac {c^{2}a}{\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7c86d677e803431a54f55e513b754c72a0b109)
par conséquent
![{\displaystyle x-b=-{\frac {c^{2}a}{\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f87c4203c1d400ed06ace1539f04dd2f86bf1e5d)
et combinant cette équation avec la précédente, on aura
![{\displaystyle y={\frac {c^{2}-b^{2}}{\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ffc50272ae0b1c583e271b91e5e6398bf80d377)
de sorte qu’on aura, en éliminant ![{\displaystyle a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f059f053fcf9f421b7c74362cf3bd5ed024e19d1)
![{\displaystyle {\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{c^{2}-b^{2}}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512fa9c20e15219386bf4d00631655c2550f5824)
intégrale particulière de la proposée, et qui n’est point comprise dans l’intégrale complète.
Si l’on fait varier
et
on aura
![{\displaystyle {\frac {dx}{da}}=-{\frac {x-b}{a}}-{\frac {c^{2}}{\sqrt {c^{2}\left(1+a^{2}\right)-b^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208e9d2284cf837a6a6604f60edad15064923575)
et l’équation
redonnera le même résultat que nous venons de trouver d’après l’équation
Ainsi la proposée n’admet point d’autre intégrale particulière que la précédente. Voyez au reste, sur l’intégration de ces deux équations, les nos 17 et 19 ci-après.