Considérions enfin l’équation différentielle séparée
![{\displaystyle {\frac {dx}{\sqrt {\mathrm {X} }}}={\frac {dy}{\sqrt {\mathrm {Y} }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b111041875d2076921be4c7eaa8c860e5e177e6)
dans laquelle
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} &=\mathrm {A} +\mathrm {B} x+\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x^{3}+\mathrm {E} x^{4},\\\mathrm {Y} &=\mathrm {A} +\mathrm {B} y+\mathrm {C} y^{2}+\mathrm {D} y^{3}+\mathrm {E} y^{4}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43103a4785321e812c956072168372055c13fcec)
l’intégrale complète de cette équation est, comme j’ai fait voir ailleurs[1],
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {X} }}+{\sqrt {\mathrm {Y} }}=(x-y){\sqrt {a+\mathrm {U} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fcce3ff1af8eae4adae0fdd7dc9a74fa3d47e98)
où
est la constante arbitraire, et
![{\displaystyle \mathrm {U} =\mathrm {D} (x+y)+\mathrm {E} (x+y)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fdcd3e98e8c1ec0c6643eea273a0a74c5d75861)
Faisant d’abord varier
et
et ensuite
et
à la fois, et supposant, pour plus de simplicité,
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=\mathrm {X} ',\quad {\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}=\mathrm {Y} ',\quad {\frac {d\mathrm {U} }{dx}}={\frac {d\mathrm {U} }{dy}}=\mathrm {U} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a9074340c1d389cfb154be160ec834498195b3)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{da}}=&{\frac {(x-y){\sqrt {\mathrm {Y} }}}{\mathrm {Y} '{\sqrt {a+\mathrm {U} }}-\left[\mathrm {U} '(x-y)+2(a+\mathrm {U} )\right]{\sqrt {\mathrm {Y} }}}}\\{\frac {dx}{da}}=&{\frac {(x-y){\sqrt {\mathrm {X} }}}{\mathrm {X} '{\sqrt {a+\mathrm {U} }}-\left[\mathrm {U} '(x-y)+2(a+\mathrm {U} )\right]{\sqrt {\mathrm {X} }}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c57c988c49d1a1a720643707746af4889c3331b)
Les équations
et
donnent d’abord la même équation
![{\displaystyle x-y=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1e79aa8646b4a80aefe0326298d13e5246c79ee)
laquelle, ne contenant point la quantité
peut être ou n’être pas une intégrale particulière. Pour pouvoir en juger, je reprends l’intégrale complète, et j’en tire
![{\displaystyle a={\frac {\mathrm {\left({\sqrt {X}}+{\sqrt {Y}}\right)} ^{2}}{(x-y)^{2}}}-\mathrm {U} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc83a078dfc7ffbda05d658180d46aab9a39a9dc)
- ↑ Œuvres de Lagrange, t. II, p. 17.