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de $\mathrm {T,T',T'',\ldots ,U,U',U''} ,\ldots$ qui répondent à $t=1,$ la même formule donnera

${\begin{aligned}y_{x,1}&=\theta f(x+\mu t)+\theta 'f(x+\mu t-\mu ')+\theta ''f(x+\mu t-\mu '')+\ldots \\&+\upsilon \varphi (x+\nu t)+\upsilon '\varphi (x+\nu t-\nu ')+\upsilon ''\varphi (x+\nu t-\nu '')+\ldots \,;\end{aligned}}$

ainsi l’on aura deux équations, à l’aide desquelles, en donnant successivement à $x$ toutes les valeurs $0,1,2,3,\ldots ,$ on pourra déterminer celles des fonctions $f(x)$ et $\varphi (x)\,;$ mais il est clair que cette détermination sera très-difficile, en général, à moins que l’expression de $y_{x,1}$ ne soit finie, ce qui n’arrivera que lorsque la valeur de $\beta$ en $\alpha$ est finie.

Si les deux valeurs de $\beta$ sont égales, la détermination des fonctions $f(x)$ et $\operatorname {F} (x)$ de la formule du n^o 16 sera très-facile ; car en faisant $t=0$ on aura d’abord

$y_{x,0}=f(x)\,;$

et faisant ensuite $t=1,$ on aura

$_{\prime }\!\mathrm {T} =1,\quad _{\prime }\!\mathrm {T} '=0,\quad _{\prime }\!\mathrm {T} ''=0,\ldots ,$

donc

$y_{x,1}=\theta f(x+\mu -\mu ')+\theta 'f(x+\mu -\mu ')+\ldots +\operatorname {F} (x)\,;$

de sorte qu’on connaîtra immédiatement par là les valeurs générales des deux fonctions.

18. Au reste, quoique l’expression de $y_{x,t}$ trouvée par la méthode précédente soit, en général, composée d’un nombre infini de termes, il y a cependant un cas très-étendu, et qui a lieu dans la plupart des questions qui conduisent à ces sortes d’équations différentielles, dans lequel cette expression devient finie ; en sorte que la détermination des fonctions arbitraires n’a plus de difficulté. Ce cas est celui où l’on suppose que si l’on continue en arrière les deux premiers rangs horizontaux de la Table du n^o 6, tous les termes qui formeraient ces rangs ainsi continués soient nuls ; c’est-à-dire lorsque l’on aura, en général,

$y_{x,0}=0,\quad y_{x,1}=0,$

tant que $x$ sera négatif.