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précédent, on aura

${\begin{aligned}y_{x,t}=\mathrm {ZY} &+m\mathrm {Z} '\Delta \mathrm {Y} +m^{2}\mathrm {Z} ''\Delta ^{2}\mathrm {Y} +\ldots +m^{x+t}\mathrm {Z} ^{(x+t)}\Delta ^{x+t}\mathrm {Y} \\&+n{\grave {\,}}\mathrm {Z} \delta \mathrm {Y} +n^{2}{\grave {\,}}\!{\grave {\,}}\mathrm {Z} \delta ^{2}\mathrm {Y} +\ldots +n^{x+t}\,^{(x+t)}\mathrm {Z} \delta ^{x+t}\mathrm {Y} ,\end{aligned}}$

formule par laquelle on pourra connaitre un terme quelconque de la Table du n^o  6, dès qu’on connaîtra ceux des deux premiers rangs, l’un horizontal, l’autre vertical.

23. Si maintenant on compare ensemble les deux expressions de $y_{x,t}$ des n^os 19 et 21, il sera facile d’en conclure les valeurs de la fonction $f$ par celles des fonctions $\operatorname {F}$ et $\varphi \,;$ et il n’est pas difficile de voir qu’on aura, en général, entre

$f(\lambda ),\quad f(-\lambda ),\quad \operatorname {F} (\lambda ),\quad \operatorname {F} (\lambda -2),\ldots \quad \varphi (\lambda ),\quad \varphi (\lambda -2),\ldots$

les mêmes relations qu’entre

$\omega ^{\lambda },\ \ {\frac {1}{\omega ^{\lambda }}},\ \ \varepsilon ^{\lambda },\ \ \varepsilon ^{\lambda -2},\ldots ,\ \ \theta ^{\lambda },\ \ \theta ^{\lambda -2},\ldots .$

De sorte que si l’on substitue les valeurs des fonctions $\operatorname {F}$ et $\varphi$ trouvées ci-dessus, et qu’on fasse, pour abréger,

$p^{\lambda }s^{\lambda }-q^{\lambda }r^{\lambda }={\frac {1}{\Lambda }},$

on aura, $\lambda$ étant positif,

${\begin{aligned}f(\lambda )\quad &=\Lambda s^{\lambda }m^{\lambda }\left[\Delta ^{\lambda }\mathrm {Y} -\lambda {\frac {pq}{m^{2}}}\Delta ^{\lambda -2}\mathrm {Y} +{\frac {\lambda (\lambda -3)}{2}}{\frac {p^{2}q^{2}}{m^{4}}}\Delta ^{\lambda -4}\mathrm {Y} -\ldots \right]\\&+\Lambda q^{\lambda }n^{\lambda }\ \,\left[\ \,\delta ^{\lambda }\mathrm {Y} -\lambda {\frac {rs}{n^{2}}}\ \,\delta ^{\lambda -2}\,\mathrm {Y} +{\frac {\lambda (\lambda -3)}{2}}{\frac {r^{2}s^{2}}{n^{4}}}\ \ \delta ^{\lambda -4}\mathrm {Y} -\ldots \right],\\f(-\lambda )&=\Lambda p^{\lambda }n^{\lambda }\ \left[\ \,\delta ^{\lambda }\mathrm {Y} -\lambda {\frac {rs}{n^{2}}}\ \ \delta ^{\lambda -2}\,\mathrm {Y} +{\frac {\lambda (\lambda -3)}{2}}{\frac {r^{2}s^{2}}{n^{4}}}\ \ \delta ^{\lambda -4}\mathrm {Y} -\ldots \right]\\&-\Lambda r^{\lambda }m^{\lambda }\ \left[\Delta ^{\lambda }\mathrm {Y} -\lambda {\frac {pq}{m^{2}}}\Delta ^{\lambda -2}\mathrm {Y} +{\frac {\lambda (\lambda -3)}{2}}{\frac {p^{2}q^{2}}{m^{4}}}\Delta ^{\lambda -4}\mathrm {Y} -\ldots \right]\,;\end{aligned}}$

ce sont les valeurs de la fonction $f$ qui résulteraient des équations du n^o  20, comme il est facile de s’en convaincre par le calcul ; ainsi il n’y aura qu’à substituer ces valeurs dans la formule du n^o  19.