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24. La méthode par laquelle nous venons d’intégrer d’une manière finie et complète toutes les équations différentielles du second ordre entre trois variables pourrait s’étendre aussi aux équations des ordres supérieurs si, dans une équation quelconque à deux indéterminées, il était toujours possible d’exprimer chacune de ces indéterminées par une fonction rationnelle finie et sans fraction complexe d’une troisième indéterminée mais comme cela n’a lieu, pour leséquations qui passent le second degré, que dans des cas particuliers, on doit regarder la méthode précédente comme bornée aux équations différentiellesdu premier et du second ordre.

Pour suppléer à ce défaut, nous allons donner dans l’Article suivant une autre méthode qui s’étendra aux équations de tous les ordres, et qui joindra à l’avantage de donner toujours des intégrales finies, celui de rendre la détermination des fonctions arbitraires très-facile dans tous les cas.

Article III. — Où l’on donne une méthode générale pour l’intégration des équations linéaires aux différences finies entre trois variables.

25. Considérons l’équation différentielle du $n$^ième degré du n^o 6, et faisons, en général,

$y_{x,t}=a\alpha ^{x}\beta ^{t}\,;$

il est facile de voir qu’après les substitutions et la division par $a\alpha ^{x}\beta ^{t},$ il viendra cette équation du $n$^ième degré en $\alpha$ et $\beta$

(I)

$\left\{{\begin{alignedat}{3}\mathrm {A} &+&\mathrm {B} \ \alpha &+&\mathrm {C} \ \alpha ^{2}&+\ldots +\mathrm {N} \alpha ^{n}\\&+&\mathrm {B} '\beta &+&\mathrm {C} '\alpha \beta &+\ldots +\mathrm {N} '\alpha ^{n-1}\beta \\&&&+&\mathrm {C} ''\beta ^{2}&+\ldots +\mathrm {N} ''\alpha ^{n-2}\beta ^{2}\\&&&&&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&&&&&\ \ \qquad +\mathrm {N} ^{(n)}wb^{n}\end{alignedat}}\right\}=0,$

par laquelle il faudra déterminer $\beta$ en $\alpha$ ou vice versâ.