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Je remarque maintenant qu’on ne peut exprimer, en général, $\beta$ en puissances de $\alpha$ que par une série infinie, ce qui donnera, comme on l’a vu dans l’Article II une expression de $y_{x,t}$ en série infinie ; mais comme on n’a pas besoin de la valeur de $\beta ,$ mais seulement de celle de $\beta ^{t},$ où $t$ est censé plus grand que $n,$ j’observe qu’on peut réduire cette valeur à une série rationnelle et finie de termes ordonnés suivant les puissances de $\alpha ,$ pourvu qu’on y admette aussi les puissances de $\beta$ inférieures à $\beta ^{n}\,;$ car il est visible que si l’on prend la valeur de $\beta ^{n}$ donnée par l’équation précédente, et qu’on la substitue autant qu’il est possible dans la valeur de $\beta ^{t},$ qu’ensuite dans les termes résultant de cette première substitution, on substitue de nouveau autant qu’il est possible la même valeur de $\beta ^{n},$ et ainsi de suite jusqu’à ce qu’on ait rabaissé les puissances de $\beta$ au-dessous de $\beta ^{n}\,;$ il est visible, dis-je, qu’on parviendra à une formule de cette forme

(K)

$\left\{{\begin{aligned}\beta ^{t}=\mathrm {T} &+\mathrm {T'\alpha +T''\alpha ^{2}+T'''\alpha ^{3}+\ldots +T} ^{(t)}\alpha ^{t}\\&+\ _{\prime }\!\mathrm {T\beta \ \ +\ _{\prime }\!T'\alpha \beta \ \ +\,_{\prime }\!T''\alpha ^{2}\beta +\ldots +\,_{\prime }T} ^{(t-1)}\alpha ^{t-1}\beta \\&+\mathrm {\,_{\prime \prime }\!T\beta ^{2}+\,_{\prime \prime }\!T'\alpha \beta ^{2}+\ldots +\,_{\prime \prime }\!T} ^{(t-2)}\alpha ^{t-2}\beta ^{2}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {\,_{(n-1)}\!T\beta ^{n-1}+\ldots +\,_{(n-1)}\!T} ^{(t-n+1)}\alpha ^{t-n+1}\beta ^{n-1},\\\end{aligned}}\right.$

où les coefficients $\mathrm {T,T',T'',\ldots ,\,_{\prime }\!T,\,_{\prime }\!T'} ,\ldots$ seront des fonctions rationnelles données de $t$ et des coefficients $\mathrm {A,B,B'} ,\ldots$ de l’équation en $\alpha$ et $\beta$.

26. Multipliant donc cette expression de $\beta ^{t}$ pars $a\alpha ^{x},$ on aura une valeur particulière de $y_{x,t}$ dans laquelle les deux constantes $a$ et $\alpha$ seront à volonté ; et comme l’équation différentielle proposée est linéaire et ne contient aucun terme sans $y,$ il est visible qu’on pourra aussi prendre pour $y_{x,t}$ la somme d’autant de pareilles valeurs particulières qu’on voudra, en supposant que les quantités $a$ et $\alpha$ soient différentes dans chacune de ces valeurs.

De là et de ce que les quantités $\beta ,\beta ^{2},\beta ^{3},\ldots$ jusqu’à $\beta ^{n-1}$ sont nécessairement des fonctions irrationnelles de $\alpha ,$ irréductibles entre elles, il est aisé de conclure par un raisonnement analogue à celui qu’on a em-