demeurant arbitraire, sera formée par la combinaison des équations
![{\displaystyle \mathrm {V} =0,\quad {\frac {dy}{dx}}=p,\quad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=p',\quad {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=p'',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953e253418832e1d2da1e461c3ebca49593cc667)
de manière que
disparaisse ; et ainsi de suite.
9. Voyons maintenant dans quels cas l’équation
pourra satisfaire aux mêmes équations
![{\displaystyle \mathrm {Z=0,\quad Z'=0,\quad Z''} =0,\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd79b404e8cf864a15da246192c4dca7112def3c)
en supposant que
soit une quantité variable.
Et d’abord il est clair que cela aura lieu pour l’équation du premier ordre
si
parce qu’alors on aura également
comme dans le cas de
constante. De là naissent les intégrales particulières, ainsi que nous l’avons vu dans l’Article précédent.
Pour l’équation du second ordre
il faudra que l’on ait de plus
afin que l’on ait aussi
comme dans l’hypothèse de
constante.
De même pour l’équation du troisième ordre
il faudra que l’on ait encore
pour que la valeur de
soit également
et ainsi de suite.
Donc, en général, l’équation finie
sera une intégrale particulière de l’équation du premier ordre
si
est une quantité telle, que l’on ait
. Elle sera une intégrale particulière de l’équation du second ordre
si l’on a à la fois
et
Elle sera une intégrale particulière de l’équation du troisième ordre
si l’on a en même temps
et ainsi de suite.
10. En regardant
comme une fonction de
et
donnée par l’équation
on a, suivant la notation reçue (8).
![{\displaystyle p={\frac {dy}{dx}},\quad q={\frac {dy}{da}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c35ba2c958958468a1da4a4288949b2ffe6cd0ee)